四川省南充高级中学2020届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）

四川省南充高级中学2020届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）一、单选题（每小题5分，总分60分）1已知集合，则AB（）A1，2B0，2C（，1D2，+）2西游记三国演义水浒传红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（）ABCD3使复数z为实数的充分而不必要条件为（）Az2为实数Bz+为实数CzD|z|z4已知样本数据x1，x2，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为（）A5B7C10D155已知点P是圆C：（x3cos）2+（ysin）21上任意一点，则点P到直线x+y1距离的最大值为（）AB2C+1D+26函数f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，37函数f（x）sin（x+），（0，0）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则，的值分别是（）A，B，C2，D8某程序框图如图所示，其中g（n），若输出的S，则判断框内可以填入的条件为（）An2020？Bn2020？Cn2020？Dn2020？9已知平面向量、为三个单位向量，且满足（x，yR），则x+y的最大值为（）A1BCD210若曲线f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）11如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf（x）的图象是（）ABCD12已知函数f（x），若关于x的方程f（x）2+mf（x）+m10恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（1，+）C（1，1）D（1，e）二、填空题（每小题5分，共20分）13若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 14已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则的取值集合为 15若函数，则yf（x）图象上关于原点O对称的点共有 对16设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，已知c23（a2b2），且tanC3，则角B为 三、解答题（共70分.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17在数列an中，已知（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设数列cn满足cnan+bn，求cn的前n项和Sn18已知函数f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（），且f（）f（0）（1）求函数yf（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值19如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角，ABCD，ADCD2AB2PA2，E、F分别为PC、CD的中点（1）试证：CD平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥PDBE的体积20已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x2的距离小1（）求点M的轨迹C的方程；（）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（）在（）的条件下，求FPQ面积的最小值21已知函数（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）exxe2+2，若对任意x1（0，2，均存在x2（0，2使得f（x1）g（x2），求a的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为4cos，曲线C2的极坐标方程为4sin，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy（）求C1和C2的参数方程（）已知射线l1：（0），将l1逆时针旋转得到l2；，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|OQ|取得最大值时点P的极坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|+|x4|（1）解不等式f（x）6；（2）若不等式f（x）+|x4|a28a有解，求实数a的取值范围2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，总分60分）1已知集合，则AB（）A1，2B0，2C（，1D2，+）【解答】解：Ay|y1，Bx|x2，AB1，2故选：A2西游记三国演义水浒传红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（）ABCD【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为6个，而取到红楼梦包含3个基本事件，所以取到红楼梦的概率为P，故选：B3使复数z为实数的充分而不必要条件为（）Az2为实数Bz+为实数CzD|z|z【解答】解：设复数za+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b0由此可看出：对于A，z2为实数，可能zi是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若za+bi，abi，z等价于b0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|z0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|z不成立，符合题意故选：D4已知样本数据x1，x2，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为（）A5B7C10D15【解答】解：x1+x2+xn5n，2x1+5+2x2+5+2xn+52（5n）+5n15n，所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为15，故选：D5已知点P是圆C：（x3cos）2+（ysin）21上任意一点，则点P到直线x+y1距离的最大值为（）AB2C+1D+2【解答】解：圆C：（x3cos）2+（ysin）21的圆心（3+cos，sin），半径为1，点P是圆C：（x3cos）2+（ysin）21上任意一点，则圆心到直线x+y1距离为：，当且仅当sin（）1时点P到直线x+y1距离的最大值为：+2故选：D6函数f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，3【解答】解：函数f（x）为奇函数若f（1）1，则f（1）1，又函数f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1，f（1）f（x2）f（1），1x21，解得：x1，3，故选：D7函数f（x）sin（x+），（0，0）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则，的值分别是（）A，B，C2，D【解答】解：根据题意知，设N（x，1），且，解得x2，根据图象得，解得故选：A8某程序框图如图所示，其中g（n），若输出的S，则判断框内可以填入的条件为（）An2020？Bn2020？Cn2020？Dn2020？【解答】解：由题得，则Sg（1）+g（2）+g（3）+g（n），因为S，故n2020，由于判断框为否时输出，故n2020，故选：A9已知平面向量、为三个单位向量，且满足（x，yR），则x+y的最大值为（）A1BCD2【解答】解：、为三个单位向量，且，将（x，yR）两边平方，得2+2+2xy，所以 x2+y21，（x+y）2x2+y2+2xy2（x2+y2）2，x+y，所以x+y 最大值为故选：B10若曲线f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）【解答】解：f（2）（2a1）e222a1；f（x）aex2+（ax1）ex2ex2（ax+a1）；则点（2，2a1）处的切线斜率为f（2）3a1；切线过点（3，3）；，解得a1；f（x）xex2；令f（x）0，解得x0；当x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；f（x）的单调增区间为（0，+）；故选：A11如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf（x）的图象是（）ABCD【解答】解：过M作MN平面ABCD，交AB于N，过N作NQAD，交CD于Q，过Q作QHPD，交PC于H，连结MH，则平面MNQH是所求的平面，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，平面与平面PAD之间的距离为x，解得MN42x，即，MHx，NQ2，函数yf（x）x2+4，（0x2）函数yf（x）的图象如下图故选：D12已知函数f（x），若关于x的方程f（x）2+mf（x）+m10恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（1，+）C（1，1）D（1，e）【解答】解：由题意f（x）令f（x）0，解得x1；令f（x）0，解得x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，在x1处取极大值f（x）大致图象如下：假设m2，令tf（x）则t2+2t+10解得t1，即f（x）1根据f（x）图象，很明显此时只有一个解，故m2不符合题意，由此排除B、D选项；假设m3，则t2+3t+20，解得t12，t21即f（x）2，或f（x）1根据f（x）图象，很明显此时方程只有两个解，故m3不符合题意，由此排除A选项故选：C二、填空题（每小题5分，共20分）13若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是4cm2【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，所以扇形的面积为：4cm2；故答案为4cm214已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则的取值集合为（，）（，+）【解答】解：向量，若向量与向量夹角为钝角，230，且与 不共线，即 且，即 且，故答案为：（，）（，+）15若函数，则yf（x）图象上关于原点O对称的点共有4对【解答】解：yf（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）|lg（x1）|（x1）的图象与f（x）sinx关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为：416设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，已知c23（a2b2），且tanC3，则角B为【解答】解：ABC中，c23（a2b2），得a2b2，且ba，所以B为锐角；因为cosB，即3sinAcosB2sinC2sin（A+B），整理得sinAcosB2cosAsinB，则有tanA2tanB；又tanC3，所以tan（A+B）tan（A+B）3，化简得2tan2BtanB10，解得tanB1或tanB（不合题意，舍去）；又B为锐角，所以角B故答案为：三、解答题（共70分.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17在数列an中，已知（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设数列cn满足cnan+bn，求cn的前n项和Sn【解答】解：（1），所以数列an是首项为，公比为的等比数列，则因为2，所以bn3n2（2）由（1）知，bn3n2，所以所以，18已知函数f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（），且f（）f（0）（1）求函数yf（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（）asinxcosxf（）f（0），a2则f（x）则T；（2）x，2x，则sin（2x），f（x）1，2则当x时，f（x）min1，当x时，f（x）max219如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角，ABCD，ADCD2AB2PA2，E、F分别为PC、CD的中点（1）试证：CD平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥PDBE的体积【解答】（1）证明：ABCD，CD2AB，F为CD的中点，四边形ABFD为平行四边形，又DAB为直角，DCBF，又PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，DCAD，故DC平面PAD，DCPD，在PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EFPD，DCEF由此得DC平面BEF；（2）解：由（1）知，DC平面BEF，则CBF为BC与平面BEF所成角，在RtBFC中，BFAD2，CF，tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD平面PAD，则平面PDC平面PAD，在RtPAD中，设A到PD的距离为h，则PAADPDh，得h，A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，VPDBEVBPDE20已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x2的距离小1（）求点M的轨迹C的方程；（）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（）在（）的条件下，求FPQ面积的最小值【解答】解：（）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线 p2，点M的轨迹C的方程：y24x证明：（）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（，）由题意可设直线l1的方程为yk（x1），（k0），由，得k2x2（2k2+4）x+k20（2k2+4）24k416k2+160直线l1与曲线C于A，B两点，点P的坐标为（1+，）由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，2k）当k1时，有1+1+2k2，此时直线PQ的斜率kPQ直线PQ的方程为y+2k（x12k2），整理得yk2+（x3）ky0于是，直线PQ恒过定点E（3，0），当k1时，直线PQ的方程为x3，也过点E（3，0）综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0） 解：（）由题意得|EF|2，FPQ的面积S+4当且仅当k1时，“”成立，FPQ面积的最小值为421已知函数（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）exxe2+2，若对任意x1（0，2，均存在x2（0，2使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【解答】解：（）当a0时，x0，ax10，在区间（0，2）上，f（x）0；在区间（2，+）上f（x）0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+）当时，在区间（0，2）和上，f（x）0；在区间上f（x）0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是当时，故f（x）的单调递增区间是（0，+）当时，在区间和（2，+）上，f（x）0；区间上f（x）0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+），单调递减区间是（）设g（x）ex1，x（0，2，g（x）0，g（x）为增函数，由已知，g（x2）maxg（2）0f（x）max0由（I）可知，当时，f（x）在（0，2上单调递增，故f（x）maxf（2）2a2（2a+1）+2ln22a2+2ln2，所以，2a2+2ln20，解得aln21，故当时，f（x）在