宁夏银川市2020届高三数学下学期质量检测试题 理（含解析）

宁夏2020年银川市高三下学期质量检测理科数学一、选择题（本大题共12小题）1.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，则本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算法则的应用，是基本知识的考查.2.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据集合中元素与中元素之间的关系进行求解.【详解】，当时，当时，当时，即，即共有个元素本题正确选项：【点睛】本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出的值是解决本题的关键.3.已知是定义在上奇函数，当时，则（）A. B. C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】利用函数是奇函数，得到，再根据对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，且当时，则，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.4.双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线与直线平行，可得双曲线的渐近线的方程为，得到，再由双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线的渐近线与直线平行，可得双曲线的渐近线的方程为，即，所以双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的计算，其中解答中根据双曲线的渐近线与直线平行的关系，求得双曲线的渐近线的方程，得到的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知平面平面，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案.【详解】由题意知，平面平面，当时，利用面面垂直的性质定理，可得成立，反之当时，此时与不一定是垂直的，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.执行如图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】试题分析：通过分析程序框图可得：当，当，当，此时因时，输出，故考点：程序框图.7.已知等比数列的公比为，且，则其前4项的和为（）A. 5B. 10C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的求和公式和通项公式即可求出.【详解】等比数列的公比为，解得（舍去）或 本题正确选项：【点睛】本题考查了等比数列的求和公式和通项公式，属于基础题.8.已知是边长为2的等边三角形，为的中点，且，则（）A. B. 1C. D. 3【答案】D【解析】【分析】设，则，且与的夹角为，由向量的运算法则可得，利用数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，设，则，且与的夹角为，又由向量的运算法则可得所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.10.已知，满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（3，4），此时直线y=x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为zmax=3+24=5故选：C【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则在下列那个区间上单调递减（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，根据的图象变换规律得到，然后分别判断在各个区间上的单调性，从而得到结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位得到：在区间上，则，单调递增，故不满足条件；在区间上，则，不单调，故不满足条件；在区间上，则，单调递减，故满足条件；在区间上，则，不单调，故不满足条件本题正确选项：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，函数的图象变换规律，正弦型函数的单调性，属于基础题.12.已知为定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得，由函数奇偶性的定义分析可得为偶函数，结合函数的单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，又 若为偶函数，则即可得函数为偶函数又由当时，单调递增则，解得即不等式的解集为本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的奇偶性与单调性，利用单调性可将函数值的比较转化为自变量的比较，属于常规题型.二、填空题（本大题共4小题）13.函数在处切线方程是_【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，求得，得到切线的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程.【详解】由题意，函数，则，则，即在处的切线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，切线的方程为，即.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，根据抛物线的定义得点P到y轴的距离为，又由，即可求解.【详解】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，设点P到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的 则点P到y轴的距离为，且 则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最小值为2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，其中解答中由抛物线的定义转化为，再借助图形得到是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合的应用，以及运算与求解能力，属于基础提.15.设是数列的前项和，点在直线上，则数列的前项和为_【答案】【解析】【分析】点在直线上，可得；利用等差数列的求和公式求得，再利用裂项相消的方法求和即可得到结果.【详解】点在直线上 则数列的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.三、解答题（本大题共7小题）17.在平面四边形中，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中， 即 ,解得.所以.（2）因为,所以 ，, .在中，, . 所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考公式：参考数据：0.500.400.0100.0050.0010.4550.7086.6357.87910.828【答案】（1）采用分层抽样，示范性高中抽取人，非示范性高中抽人；（2）；（3）有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.【解析】【分析】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，根据分层抽样的计算方法，即可求解；（2）由频率分布直方图，利用平均数的计算公式，即可求解.（3）由题意，得出的列联表，利用卡方的计算公式，求得卡方值，即可得出结论.【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，由题意，从示范性高中抽取人，从示师范性高中抽取人（2）由频率分布直方图估算样本平均分为，推测估计本次检测全市学生数学平均分为 （3）由题意，语文特别优秀学生有人 ，数学特别优秀的学生有人因为语文、数学都特别优秀的共有人，故列联表如下：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀314数学不特别优秀29496合计595100，所以有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识，以及利用卡方的公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且（1）求的方程；（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点当为直角时，求直线的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，求得，再由，代入椭圆方程，解得，即可得到椭圆的方程； （2）设l的方程为y=kx+2，与椭圆的方程联立方程组，利用二次方程中根与系数的关系，求得，又由MON能为直角时，利用列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意知，a=2，B(2，0)，设Q（x0，y0），由，得，代入椭圆方程，解得b2=1. 椭圆方程为. （2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0， 由直线l与E有两个不同的交点，则0，即(16k)2412(1+4k2)0，解得. 由韦达定理可知：. 当MON能为直角时，即， 则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,解得k2=4，即.综上可知，直线l的斜率时，MON为直角【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，点是侧棱的上一点（1）证明：当点是的中点时，平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用线面垂直的判定可得平面，则；再由已知求得，可得，则，从而证得结论；（2）以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，然后利用二面角的余弦值为构造方程，求解得到的长.【详解】（1）证明：由题意：且，平面，则是的中点 ，又 同理，则平面（2）以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，由条件易知平面，故取为平面的法向量设平面的法向量为，则且，取，得由得，即【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，重点考查了利用空间向量求解二面角的问题，是中档题.21.已知函数在处取得极小值（1）求实数的值；（2）设，讨论函数的零点个数【答案】（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.【解析】【分析】（1）求出函数的导数结合导数与极值之间的关系得到，求解即可得到结果；（2）求出函数的导数，研究函数的极值和单调性，根据最值的符号，分别讨论在各个区间内的零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，函数在处取得极小值，得当时，则时，；当时，在上单调递减，在上单调递增时，函数取得极小值，符合题意（2）由（1）知，函数，定义域为则：令，得；令，得在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值当，即时，函数没有零点；当，即时，函数有一个零点；当，即时， 存在，使在上有一个零点设，则当时，则在上单调递减，即当时，当时，取，则 存在，使得在上有一个零点在上有两个零点，综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值求出的值，再利用函数极值、单调性和函数零点之间的关系进行讨论是解决本题的关键；难点是当时，需要通过