安徽省黄山市2020届高三数学第三次质量检测试题 文（含解析）

黄山市2020届高中毕业班第三次质量检测数学（文科）试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数，则（）A. B. 13C. 10D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可。【详解】由复数的运算法则有：,复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.2.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可【详解】由题意得，故选C【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题3.若点是角的终边上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】【分析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，根据等差数列的前项和公式即可得结果.【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，即，解得，故选C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将分别代入函数解析式，判断出正负即可得出结果.【详解】当时，；当时，根据选项,可得C选项符合.故选C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，只需用特殊值法验证即可，属于常考题型.6.两个非零向量满足，则向量与夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由得到；再由得到，设向量与夹角为，根据向量夹角公式即可求出结果.【详解】因为，所以，即，所以；又，所以，故，即，所以，设向量与夹角为，则，所以向量与夹角为.故选B【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量数量积的运算法则以及模的计算公式即可，属于常考题型.7.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：，共有5种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率，故选B.【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可.【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题.9.执行如图所示的程序框图，若输出的的值等于11，那么输入的的值可以是（ ）A. 121B. 120C. 11D. 10【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，由题意得，解得，即输入的N的值可以是120，故选B.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题10.下列命题是假命题的是（ ）A. 某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人；B. 用独立性检验（列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量的值越大，说明“与有关系”成立的可能性越大；C. 已知向量，则是的必要条件；D. 若，则点轨迹为抛物线.【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的概念易得，解出方程即可判断为真；用独立性检验（列联表法）的判定方法即可得出B为真；根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可得到C为真；可将原式化为，表示动点到定点和到动直线距离相等的点的轨迹，但是定点在定直线上，故可判断D.【详解】设一般职员应抽出人，根据分层抽样的概念易得，解得，即一般职员应抽出18人，故A为真；用独立性检验（列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量的值越大，说明“与有关系”成立的可能性越大，可知B为真；若，则，即不成立，若，则，即成立，故是的必要条件，即C为真；方程即：，化简得，即表示动点到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合，且在直线上，故其不满足抛物线的定义，即D为假，故选D.【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念，独立性检验在实际中的应用，充分条件、必要条件的判定，抛物线的定义等，属于中档题.11.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将函数有两个极值点，转化为方程有两不等实根，再令，可得与直线有两不同交点，根据导数的方研究函数的图像，由数形结合的方法即可得出结果.【详解】因为函数有两个极值点，所以方程有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，又，由得，所以，当时，即单调递增；当时，即单调递减；所以，又，当时，；作出函数的简图如下：因为与直线有两不同交点，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，由导数的极值个数求参数的问题，通常需要将函数有极值问题转为对应方程有实根的问题来处理，结合导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.12.已知是圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线斜率的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意得到、的斜率都存在，分别设为，切点，再设，过点的抛物线的切线为，联立直线与圆的方程，由直线与圆相切，得到判别等于0，进而可得，再由题意表示出直线的斜率，根据是圆上一动点，即可得出结果.【详解】由题意可知，、的斜率都存在，分别设为，切点，设，过点的抛物线的切线为，联立得，因为，即；所以，又由得，所以，所以，因为点满足，所以，因此，即直线斜率的最大值为.故选B【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】根据约束条件作出可行域,化目标函数为,由此可得当直线在轴截距最大时, 取最大值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又目标函数可化为，因此，当直线在轴截距最大时, 取最大值，由图像可得，当直线过点A时，截距最大，由易得，此时.故答案为8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14._【答案】2【解析】分析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.【详解】因为，又，所以，所以.故答案为2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，由得：，整理得，所以，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；第次“扩展”后得到的数列为.并记，其中，则数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据，可得，设，即，可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在中，角的对边分别为，且满足，.（1）求的最大值；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由题中条件，结合余弦定理求出，得到，再由化简整理，即可得出结果；（2）先由（1）得到，根据，求出，结合正弦定理，即可求出结果.【详解】解：（1）.， ， ，所以当时，取得最大值.（2）由（1）可得： 因为，所以，因为，所以，由正弦定理可得，所以， .【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在平行四边形中，.，以为折痕将折起，使点到点的位置，且.（1）证明：平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理，可直接证明结论成立；（2）先取上一点，使，结合题中条件证明平面，用等体积法，根据即可求出结果.【详解】解：（1）是平行四边形，且.，又，所以平面，又平面，又 ，所以平面； （2）取上一点，使，因为，连结，则，所以，由（1）可得平面； ， ，所以，.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及几何体的体积，熟记线面垂直的判定定理以及等体积法的灵活运用即可，属于常考题型.19.为了打好“精准扶贫攻坚战”某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植，适量种植，少量种植根据收集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图，然后，该扶贫书记同时调查了同类其他地区农民以往在各种情况下的平均收入如表1（表中收入单位：万元）：表1销量种植量好中差大量8-4适量970少量442但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的100户农民在市场销量好的情况下收入情况如表2：收入（万元）1111.51212.51313.51414.515频数（户）5101510152010105（）根据题中所给数据，请估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益（用以往平均收入来估计）；（）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替概率）；（）如果你是这位扶贫书记，请根据（）（），从农民预期收益的角度分析，你应该选择哪一种种植量【答案】（）13（）见解析（）选择大量种植【解析】【分析】（）利用表2的数据，直接求出平均数；（）根据频率分布直方图中，小矩形的面积表示分布在每组的概率，通过计算求得；（）计算出大量种植方案、适量种植方案、少量种植方案的预期收益，比较出大小，得出结论。【详解】解：（）在市场销量好的情况下，表2中的100户农民收入的平均数：（115+11.510+1215+12.510+1315+13.520+1410+14.510+155）=（55+115+180+125+195+270+140+145+75）=（万元）由此估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益可达到13万元；（）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率P1=（0.02+0.02）5=0.2市场销量中的概率P2=（0.02+0.03+0.03+0.02）5=0.5市场销量差的概率P3=（0.02+0.04）5=0.3；（）由（）（）可得，大量种植方案的预期收益Q1=0.213+0.58+0.3（-4）=5.4（万元）适量种植方案的预期收益Q2=0.29+0.57+0.30=5.3（万元）少量种植方案的预期收益Q3=0.24+0.54+0.32=3.4（万元）从预期收益看，大量种植的预期收益最大，因此应该选择大量种植【点睛】本题考查了平均数、频率直方图的意义。20.已知函数.（1）试讨论的单调区间；（2）若时，函数的图像与轴交于，两点，且，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，1是的极值点，构造函数，用导数方法研究单调性，再结合题中条件，即可证明结论成立.【详解】解：（1）当时， 在上是增函数. 当时，由得. 当时，；当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）可知：当时，1是的极值点，构造函数， 在上单调递增，所以, 又，又 又在是增函数，【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.21.已知点为圆：上任意一点，定点的坐标为，线段的垂直平分线交于点.（1）求点轨迹方程；（2）若动直线与圆相切，且与点的轨迹交于点、，求证：以为直径的圆恒过坐标原点.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）先由题意得到，再由，结合椭圆的定义，即可得出结果；（2）先设直线的方程为，由直线与相切，得到的关系式，再设，联立直线与椭圆方程，只需验证即可证明结论成立.【详解】解：（1）圆的圆心为，半径，连接，由已知得：， 由椭圆的定义知：点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴长为的椭圆即点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为， 与相