贵州省铜仁市第一中学2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

贵州省铜仁市第一中学2020学年高一下学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第卷和第卷两部分。第卷1至2页，第卷2至4页。满分150分，考试时间120分钟。2.全部答案在答题卷上完成。 3.考试结束后，将答题卷交回。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在数列中，=1，则的值为（ ）A. 99B. 49C. 102D. 101【答案】D【解析】试题分析：由，得，即为等差数列，且，则；则考点：等差数列2.中，所对的边分别为若，则 ( )A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】在中，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】由余弦定理可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中合理利用余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.已知，则函数的最小值是A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可.详解：由题可知：当x=2时取得最小值，故最小值为3故选C.点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.4.在中，若，则是（ ）.A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状【详解】在中，又由正弦定理得：，或，或故是等腰三角形或直角三角形，故选D【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知是正项等比数列，则该数列的前5项和等于（ ）A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】B【解析】【分析】设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得，再利用求和公式，即可求解，得到答案.【详解】设正项的等比数列的公比为，因为，即，解得，所以数列的前5项和为，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.设满足约束条件，则的最大值为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，化为，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题7.若，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据可以得到，从而正确，错误【详解】因为，故，所以，故正确，错误又，故，故正确又，故，故错误，综上，正确，故选B【点睛】本题考察不等式的性质，属于基础题8.ABC中, 三内角所对边分别是,若 ，则角A= （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.本题选择A选项.9.在中，那么满足条件的（）A. 无解B. 有一个解C. 有两个解D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】正弦定理可得，不存在这样的，又由，所以不存在这样的三角形，故选A。【详解】在中，因为，由正弦定理可得，即，因为，不存在这样的，所以不存在这样的三角形，故选A。【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定问题，其中解答中合理使用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。10.已知，并且成等差数列，则的最小值为()A. 16B. 12C. 9D. 8【答案】D【解析】【分析】由题意，得到，再由，利用基本不等式即可求解，得到答案。【详解】由题意，实数，并且成等差数列，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8，故选D。【点睛】本题主要考查了等差中项，以及基本不等式求最值问题，其中解答中根据等差中项公式，求得，再合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。11.设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是【答案】A【解析】试题分析：由集合是三角形的三边长，则实数满足，即，则可画出二元一次不等式组所表示的平面区域为选项A，故选A考点：二元一次不等式所表示的平面区域12.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式，可得，要使得为正整数，求得的取值个数，即可求解，得到答案。【详解】由题意，根据等差数列的性质和前n项和公式，可得 ，要使得为正整数，则或，所以要使得为正整数的正整数n的个数为2个，故选A。【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中根据等差数列的性质和前n项和公式，化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.在中，如果，那么的值为_；【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理可知，所以考点：正余弦定理解三角形14.在数列中，其前项和，若数列是等比数列，则常数的值为_【答案】-3【解析】，当时，要求符合，则.15.若是等差数列中，首项，则使前项和成立的最大自然数是_【答案】46【解析】【分析】由题意，得到等差数列中，公差，且，且，再由等差数列的求和公式，得到，即可得到答案。【详解】由题意，等差数列中，首项，可得公差，且，且，又由等差数列的求和公式，可得：，所以则使前项和成立的最大自然数是46【点睛】本题主要考查了等差数列的单调性，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中合理应用等差数列的性质和前项和公式，分别求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。16.已知点在的边上，且，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】以CD的中点为坐标原点，AB所在的直线为轴建立直角坐标系，由，得到，根据，得，再利用向量的数量积的运算性质，即可求解。【详解】如图所示，以CD的中点为坐标原点，AB所在的直线为轴建立直角坐标系，不妨设因为，所以，又由，所以，整理得，又由，当且仅当向量与向量共线时取等号，所以的最大值为。【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，向量的数量积的性质，圆的方程等基础知识的综合应用，其中解答中应用向量数量积的运算的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数，且.（1）求不等式的解集；（2）求在上的最值。【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由，解得，不等式化为，即可求解；（2）由（1）知，利用二次函数的图象与性质，得出函数的单调性，即可求解函数的最值，得到函数的值域。【详解】（1）由题意，得，解得，因为，即，即，解得，即不等式的解集为.（2）由（1）知，函数，所以二次函数的开口向下，对称轴的方程为，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，又由，所以函数的最大值为，最小值为，所以函数的值域为。【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.在中，内角所对边分别为，且（1）求角的大小；（2）如果，面积3，求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可知：，化简得，即以，即可求解；（2）由三角形的面积公式，可得，求得，再余弦定理，即可求解。【详解】（1）由题意，因为，由正弦定理可知：，又因为，则，所以，所以，又由，所以。（2）由三角形的面积公式，可得，又由且，解得，由余弦定理 ，所以。【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。19.已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和。【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据数列的通项公式和的关系 ，即可求解数列的通项公（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和。【详解】（1）由题意，因为，当时，有，当时，满足通项，；（2）由（1）可得，则，.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.20.某海轮以30公里/小时的速度航行，在点测得海上面油井在南偏东60，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶40分钟到达点.（1）求间距离；（2）在点测得油井的方位角是多少？【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：（1）在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出两地间的距离；（2）根据内错角相等可证明，从而可得出结论.试题解析：（1）如图，在中，,根据正弦定理得：,中，由已知，（2）在中，所以，所以因为,所以,所以点测得油井在的正南40海里处.21.已知函数,的最大值为2（1）求函数在上值域；（2）已知外接圆半径，角所对的边分别是，求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：解：（1）由题意，的最大值为，所以 2分而，于是， 4分在上递增在递减，所以函数在上的值域为； 5分（2）化简得 7分由正弦定理，得， 9分因为ABC的外接圆半径为 11分所以12分考点：三角函数的性质以及正弦定理点评：主要是考查了三角函数化简以及正弦定理的运用，解三角形，属于基础题。22.设数列满足。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；（3）求数列的前项和【答案】（1）； （2）当，取得最大值； （3）.【解析】【分析】（1）由，则，两式相减，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式，求得，即可求解； （3