安徽省安庆市市示范中学2020届髙三数学联考试题 理（含解析）

安徽省2020年安庆市市示范中学髙三联考理科数学试题考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先解一元一次不等式求出集合A,再解一元二次不等式求出集合B,最后由交集的定义求得答案.【详解】，【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数，则下列结论错误的是（ ）A. 是实数B. 是纯虚数C. 是实数D. 是纯虚数【答案】B【解析】【分析】分别计算出，的值，由此判断出结论错误的选项.【详解】是实数；不是纯虚数；是实数；是纯虚数，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.3.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再结合图象确定最优解，即得结果.详解】画出可行域知，当平移到过点时故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4.抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若函数的最大值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简，求得最大值，令其为0，求解m即可.【详解】 ，.故选A.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式的逆用，考查了正弦函数的最值问题，属于基础题.6.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积；三棱锥体积所求体积本题正确选项：【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.10.已知，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三角函数恒等变换求，再根据正弦函数性质求不等式解集.【详解】有题意可得， .解不等式，得故选：C【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.11.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即为与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即 ，中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.12.设表示不大于实数的最大整数，函数，若有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先令，再画出及在上的图象，即可判定x0时的交点个数，再把x0时方程整理成，结合单调性即可求出a的取值范围.【详解】当时，令，由，得，解得，作出及在上的图象.如图，可知有个交点，其横坐标分别为，则当时，函数有1个零点，令，则，结合题意知，解得，且，解得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为,故，故当时，由零点存在性定理可得函数在区间上有一个零点，若函数有5零点，则,故选D.【点睛】本题主要考查了由函数零点个数求解参数的取值范围，其中解答中正确作出函数图像，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知，的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】先利用平面向量数量积的运算法则求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为，的夹角为，所以，所以 .故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14.的展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】写出的二项展开式中的一次项和常数项，再结合即可求得常数项【详解】的展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式及展开式中常数项的问题，属于中档题15.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.【详解】设，则，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，所以，解得，即，所以双曲线离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在中，角，所对的边分别是，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据面积可得，利用余弦定理可得；根据基本不等式可求得，又，可求得周长的取值范围.【详解】由题可知：故 ，即又，则又，则所以的周长的取值范围为本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，从而求得的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列的前项和为，.数列为等比数列，且 ，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，其前项和为，证明：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据和求得和，从而得到；再利用，求得和，从而求得；（2）整理出的通项公式，利用裂项相消求得，进而证得结论.【详解】（1）解：设的公差为则由，得，解得所以设的公比因为，且所以，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解和数列求和问题，关键是能够通过通项公式确定采用裂项相消的方式进行求和运算，属于常考题型.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD平面ABCD，PAD=DAB=60，E为AB的中点.（1）证明：.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）证明，再证明平面，即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，再求平面以及平面的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，.因为四边形是菱形且，为的中点，所以.因为平面，所以，又，所以平面，则.因为，所以. （2）以为原点建立空间直角坐标系（其中为与的交点），如图所示，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.所以 ，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的焦距为，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线（）与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦距和的斜率列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆标准方程.（2）设出两点的坐标，利用“的面积是面积的倍”得到，转化为向量，并用坐标表示出来，求得两点横坐标的关系式.联立直线的方程和直线的方程，求得点的横坐标；联立椭圆的方程和直线的方程，求得点的横坐标，根据上述求得的两点横坐标的关系式列方程，解方程求得的可能取值，验证点横坐标为负数后得到的值.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，由已知得，所以，所以椭圆的方程为.（2）设点，由题意，且，由面积是面积的倍，可得，所以，从而，所以，即.易知直线的方程为，由，消去，可得.由方程组，消去，可得.由，可得，整理得，解得或.当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去.综上，的值为.【点睛】本小题主要考查利用解方程组的方法求椭圆的标准方程，考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的利用，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.20.2020年“双十一”全网销售额达亿元，相当于全国人均消费元，同比增长，监测参与“双十一”狂欢大促销的家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.某大学学生社团在本校名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下：男生直方图分组（百元）男生人数频率合计女生茎叶图（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）.（2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足元的同学中随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为多少？（3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）结合频数和对应频率的比值相同即可进行计算；（2）分别计算出男生和女生个数，再利用古典概率公式计算即可；（3）由二项分布公式分别写出分布列和期望.【详解】（1）表格数据依次为0.300,8,40，中位数是元；（2）由图表可知样本中消费675元的男生有2人，女生有8人，共有10人，样本容量共100人，故该校大一学生中的“剁手党”人数为100人，抽样数据中网购不足元的同学中男生有4人，女生有3人，随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为;（3）全市所有高校大一学生中，为“剁手党”的概率为0.1，故随机调查的5人中“剁手党”人数的分布列为，分布表为X012345P 数学期望为.【点睛】本题主要考查频数和中位数的计算，考查随机变量的分布列,考查数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，是函数的两个极值点.（1）求的取值范围.（2）证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再分离变量，转化为研究对应函数图象，利用导数研究新函数单调性，结合函数值域确定的取值范围，（2）先由（1）得，再根据导函数单调性以及是函数的两个极值点转化不等式为，化简转化证不等式,利用导数研究单调性，即可根据单调性证结论.【详解】（1）因为.所以由两个不等的实数解，则，令，则，当时，；当时，.函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，且，所以，解得，的取值范围为.（2）证明：由（1）得，即，且.要证，只需，又函数在上单调递增，即证，又所以只需证.令，.所以函数在上单调递增，即.故【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属难题.（二）选考题：共1