高一数学立体几何部分：关于求空间距离的问题教案

一. 教学内容：立体几何部分：关于求空间距离的问题解析几何部分：直线和圆的方程对称问题二、教学目标：1、会求点与点、点到线、点到面的距离，并能把求其他几种的距离化归为这三种距离求解。 2、掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法：结合曲线对称的定义，用求曲线方程的方法求对称曲线的方程（归结为点的对称）。3、掌握判断曲线关于几种特殊直线对称的方法：yx；x轴；y轴。三、本周知识要点：立体几何部分：（一）空间距离1、空间中的距离主要指以下七种：（1）两点之间的距离。（2）点到直线的距离。（3）点到平面的距离。（4）两条平行线间的距离。（5）两条异面直线间的距离。（6）平面的平行直线与平面之间的距离。（7）两个平行平面之间的距离。七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。在七种距离中，求点到平面的距离是重点。2、方法求点到平面的距离：（1）直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长。（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离。（3）体积法。例1. 如图，已知ABCD是矩形，ABa，ADb，PA平面ABCD，PA2c，Q是PA的中点。求：（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离。解：（1）在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，ABa，ADb，AE在RtQAE中，QAPAcQEQ到BD距离为 （2）解法一：平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE，BDQE，BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离 在RtAQE中，AQc，AEAHP到平面BD的距离为解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由VABQDVQABD，得SBQDhSABDAQh 例2. 如图，ABCD与ABEF均是正方形，边长为a，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_。解析：显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD30，过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD。FG为EF与平面ABCD的距离，即FG答案：解析几何部分：直线和圆的方程对称问题1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P（2ax0，2by0）。2. 点关于直线成轴对称问题。由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线ykxb的对称点为P（x，y），则有，可求出x、y特殊地，点P（x0，y0）关于直线xa的对称点为P（2ax0，y0）；点P（x0，y0）关于直线yb的对称点为P（x0，2by0）。3. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x，y）；（4）点（x，y）关于直线xy0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线xy0的对称点为（y，x）例1. 求直线a：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线b的方程。分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180，一定与b重合使用这些性质，可以找出直线b的方程解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程方法一：在直线a：2xy40上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），由解得B（，）由两点式得直线b的方程为，即2x11y160方法二：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x4y10的对称点Q（x0，y0），则有解得x0，y0Q（x0，y0）在直线a：2xy40上，则240，化简得2x11y160是所求直线b的方程方法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，42x0），且P、Q两点关于直线l：3x4y10对称，则有消去x0，得2x11y160或2xy40（舍）点评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一，除了点E外，找出确定直线位置的另一个条件：另一个点，然后用两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题例2. 光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程分析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k2故所求直线方程为y62（x2），即2xy20点评：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透例3. 已知点M（3，5），在直线l：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小。分析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小。解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1），同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）。据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x2y70。令x0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）解方程组得交点P（，）故点P（，）、Q（0，）即为所求点评：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果。例4. 若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围 解法一：（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为。如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点（如图所示），从而可由：代入得有两个不同的解解法二：（对称点法）设抛物线上存在异于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上。则 必有两组解。（1）（2）得 必有两个不同解，有解从而有 有两个不等的实数解即 有两个不等的实数解 ， 解法三：（点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点。从而有。由（1）（2）得 由从而有小结：1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理。2. 许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等。3. 对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想代入法来求解。【模拟试题】一、关于空间距离1. 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果MBEMBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为（ ）A. B. 1C. D. 2. 三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为（ ）A. B. C. 2.6D. 2.43. 如图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_。4. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12，如图：（1）求证：平面A1BC1平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离 5. 如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F。（1）求点A到平面B1BCC1的距离；（2）当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等。二、解析几何对称问题1. 已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线xy0对称，则点Q的坐标为A. （a，b）B. （b，a）C. （a，b）D. （b，a）2. 已知直线l1：xmy50和直线l2：xnyp0，则l1、l2关于y轴对称的条件成立的是A. B. p5C. mn且p5D. 且p53. 点A（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为_。4. 一个以原点为圆心的圆与圆x2y28x4y0关于直线l对称，则直线l的方程是 5. 直线y3x4关于点P（2，1）对称的直线l的方程是 6. 方程x2y22ax2ay0所表示的圆的对称轴方程为 7. 已知圆C与圆关于直线yx对称，则圆C的方程为A. （x1）2y21B. x2y21C. x2（y1）21D. x2（y1）218. 与直线x2y10关于点（1，1）对称的直线方程为A. 2xy50B. x2y30C. x2y30D. 2xy109. 两直线yx和x1关于直线l对称，直线l的方程是_。10. 自点A（3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线与m所在的直线的方程。11. 求函数y的最小值。试题答案一、关于空间距离1. 解析：过点M作MMEF，则MM平面BCFMBEMBCBM为EBC的角平分线，EBM45，BM，从而MN答案：A2. 解析：交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD，RtC1CD中易求得C1D2.6答案：C3. 解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQBQa，PQAB，同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQa答案 a4. （1）证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1（2）解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离 易求A1C15，A1B2，BC1，则cosA1BC1，则sinA1BC1，则S，由于，则SdBB1，代入求得d，即两平行平面间的距离为 （3）解 由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于 5. 解：（1）BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中，A1B1E45，A1B1aA1Ea，同理A1Fa，又EFa，A1Ea同理A1Fa，又EFaEA1F为等腰直角三角形，EA1F90过A1作A1NEF，则N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a2，所求距离为2（2）设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形 B1C1D1D，B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1MA1N，又A1AMA1D1N，AMA1A1ND190AMA1A1ND1，AA1A1D1，即当AA1时满足条件二、解析几何对称问题1、解析：N（a，b），P（a，b），则Q（b，a）。答案：B2、解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（x）my50，即xmy50，与l2比较，mn且p5反之亦验证成立。答案：C3、解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线答案：3xy304、答案：2xy505、答案：3xy100 用求方程的方法或几何性质（平行）均可。6、答案：xy0提示：点（x，y）与点（y，x）关于直线xy0对称7、解：由M（x，y）关于yx的对称点为（y，x），即得x2（y1）21。答案：C8、解：将x2y10中的x、y分别代以2x，2y，得（2x）2（2y）10，即x2y30，故选C。9、解：l上的点为到两直线yx与x1距离相等的点的集合，即x1，化简得xy20或3xy20答案：xy20或3xy2010、解：圆C