广东省深圳市高级中学2020届高三数学6月适应性考试试题 文（含解析）

广东省深圳市高级中学2020届高三数学6月适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由及，则，故选项为B.考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）集合的运算.2.若复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，所以的虚部为故D正确考点：复数运算3.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】以点A为圆心，且与轴相切的圆的半径为4，所求的圆的方程为：，选A.4.已知，则是（ ）A. 偶函数，且在是增函数B. 奇函数，且在是增函数C. 偶函数，且在是减函数D. 奇函数，且在是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，）A. 年B. 年C. 年D. 年【答案】B【解析】试题分析：设从2020年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解6.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 9B. 18C. 20D. 35【答案】B【解析】循环开始时，；，；，符合退出循环的条件，输出，故选B7.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，所以，故应选考点：本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域8.已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，结合与，由平面向量数量积的运算法则可得结果.【详解】由，可得，如图，连接，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.9.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最大值是B. 函数的最小正周期为C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图像关于直线对称【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解再根据正弦函数的性质进行判断即可【详解】化简得，向右平移后可得，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标长度不变）得到函数，所以，由三角函数性质知：的最大值为，故A错；最小正周期为，故B错；对称轴为，给k赋值，x取不到，故D错；又-，则-，单调增区间为，当k=0时，单调增区间为故C正确，故选C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题10.已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直线与抛物线联立，利用判别式等于零求得的值，再由离心率公式可得结果.【详解】由，得，直线与抛物线相切，双曲线方程为，可得，所以离心率，故选B.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及双曲线的方程及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解11.如图，平面四边形中，是，中点，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）A. 平面B. 异面直线与所成的角为C. 异面直线与所成的角为D. 直线与平面所成的角为【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析命题：利用中位线性质可得，可证A选项成立，根据面面垂直的性质定理可判断B选项，根据异面直线所成角的定义判断C，根据线面角的定义及求解可判断D，综合可得答案【详解】A选项：因，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，则，所以为异面直线与所成角，又，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，,又， sin=，,D正确，故选C.【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角及线面角的求法，考查了线面垂直的判定与性质定理的应用，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题12.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【详解】由题意，设，设，在单调递减，且，,所以在递减，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令 求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围， 可得减区间.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13.等差数列中，且，成等比数列，数列前20项的和_【答案】200或330【解析】【分析】根据等差数列中，且，成等比数列，列出关于首项、公差的方程，解方程可得与的值，再利用等差数列的求和公式可得结果.【详解】设数列的公差为，则，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，于是，故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14.已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数_【答案】【解析】【分析】画出可行域，由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，由，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，化为，平移直线由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，由，解得,故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域.【详解】且 值域为：本题正确结果：【点睛】本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题.16.在三棱锥中，面面， 则三棱锥的外接球的表面积是_【答案】【解析】由可得的外接圆的半径为2，设外接圆圆心为，由于平面平面，而，因此到的距离等于到的距离，即是三棱锥外接球的球心，所以球半径为，三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值。【答案】（1）；（2）12【解析】试题分析：（1）本题考察的是解三角形的相关问题，根据题意利用正弦定理，进行化简，即可求得角的大小（2）已知，要求三角形的周长最大值，只要求出的最大值即可，根据余弦定理和基本不等式建立相应的不等式，即可求出所求的最大值试题解析：（1）依正弦定理可将化为又因为在中，所以有，即，（2）因为的周长，所以当最大时，的周长最大因为，即，即（当且仅当时等号成立）所以周长的最大值为12考点：解三角形相关问题18.（本题满分12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（）若为线段的中点，求证平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】解法一：（）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面（）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（）在中，所以同理，所以三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为解法二：（）、（）同解法一（）在中，所以，同理所以，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值所以在中，由余弦定理得：从而所以的最小值为考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积19.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度热饮杯数（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里。因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少。统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱。请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.（2）（i）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（i）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】，【参考数据】，.，.【答案】(1)见解析；(2) （i）（ii）时，当天的热饮销售利润总额最大，且最大为元【解析】【分析】(1)由已知数据，求出相关系数，可得到结论（2）（i）将参考数据代入参考公式中，求出回归系数和，写出回归方程；（ii）将利润总额的关系式列出，利用的意义将写成分段函数，利用函数单调性求最大值.【详解】（1）因为 .所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强.（2）（i）因为 ，.所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为.（ii）由题意可知气温与当天热饮销售杯数的关系为.设气温为时，则当天销售的热饮利润总额为 ，即.易知，.故当气温时，当天热饮销售利润总额最大，且最大为元.【点睛】本题考查相关系数，线性回归方程的求法与应用问题，是一个中档题20.如图，椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴相交于点，点在直线上，且满足轴.（1）当直线与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：直线经过线段的中点.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】(1)由题意写出直线的方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，利用两点求得直线方程.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理证明与共线，可得结论.【详解】（1）由，直线与轴垂直，由，得，或，,直线的方程为y-即.（2）设直线的方程为，由得，.设， ，则，的中点，点， .所以，三点共线，所以直线经过线段的中点.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用及直线过定点的证明，考查计算能力，属于中档题21.已知函数，.（1）设，讨论函数的单调性；（2）若，证明：在恒成立.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，两次求导可证明在上单调递增，可得，则，再结合可得结论.【详解】（1）因为，所以，若，.在上单调递减.若，则，当，或时，当时，上单调递减，在上单调递增.若，则，当，或时，当时，.在，上单调递减，在上单调递增.（2），.设，则.设，则，在上，恒成立.在上单调递增.又，时，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是（1）求曲线与交点的极坐标；（2）、两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积（为坐标原点）【答案】（） 和 ； （