江苏省2020届高考数学二轮复习 专题1 函数的性质及应用(Ⅰ)

专题1函数的性质及应用()回顾20202020年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2020年和2020年都有涉及，在压轴题中2020年和2020年考查了函数的基本性质，在2020年、2020年和2020年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在20202020年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2020年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一.(2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.1(2020江苏高考)已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_解析：a(0,1)，函数f(x)ax在R上递减由f(m)f(n)得mn.答案：mn2(2020江苏高考)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：13(2020江苏高考)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析：由题意有或解得1x0或0x1，x的取值范围为(1，1)答案：(1，1)4(2020江苏高考)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：当1a1，即a0时，此时a11，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，计算得a(舍去)；当1a1，即a0时，此时a11，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，计算得a，符合题意综上所述，a.答案：5(2020江苏高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：由题意f(x)x2axb2b.因为f(x)的值域为0，)，所以b0，即a24b.因为x2axc0的解集为(m，m6)，易得m，m6是方程x2axc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.答案：9(2020如皋测试)已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数(2)a2x在(1，)上恒成立，即a2x在(1，)上恒成立设h(x)2x，则a1，h(x)0.h(x)在(1，)上单调递增h(x)h(1)3，故a3.a的取值范围为(，3(3)f(x)的定义域为x|x0，xR，mn0.当nm0时，由(1)知f(x)在(0，)上单调递增，mf(m)，nf(n)故x2ax10有两个不相等的正根m，n.解得a2.当mng(x2)成立，求实数m的取值范围解(1)由题意可知，|xm|m|在4，)上有两个不同的解，而方程|xm|m|在R上的解集为x0或x2m，所以2m4且2m0.所以m的取值范围为2,0)(0，)(2)原命题等价于“f(x)的最小值大于g(x)的最大值”对任意x1(，4，f(x1)min对任意x23，)，g(x2)max当mm210m9，解得1mm27m，解得3m4；当m4时，m4m27m，解得4mg(x2)成立”的意义，即f(x)的最小值大于g(x)的最大值设函数f(x)其中b0，cR.当且仅当x2时，函数f(x)取得最小值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)xa(aR)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合解：(1)当且仅当x2时，函数f(x)取得最小值2.二次函数yx2bxc的对称轴是x2.且有f(2)(2)22bc2，即2bc6.b4，c2.f(x)(2)记方程：2xa(x0)，方程：x24x2xa(x0)分别研究方程和方程的根的情况：()方程有且仅有一个实数根a2，方程没有实数根a2.()方程有且仅有两个不相同的实数根，即方程x23x2a0有两个不相同的非正实数根a2；方程有且仅有一个实数根，即方程x23x2a0有且仅有一个非正实数根2a2或a.综上可知，当方程f(x)xa(aR)有三个不相同的实数根时，a2；当方程f(x)xa(aR)有且仅有两个不相同的实数根时，a或a2.符合题意的实数a取值的集合为.已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)，若函数h(x)在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x2|x|1作图(如右图所示)(2)当x1,2时，f(x)ax2x2a1.若a0，则f(x)x1在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3.若a0，则f(x)a22a1，f(x)图象的对称轴是直线x.当a0时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当0时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当12，即a时，g(a)f2a1.当2，即0a时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.综上可得g(a)(3)当x1,2时，h(x)ax1，在区间1,2上任取x1，x2，且x10.因为x2x10，x1x20，所以ax1x2(2a1)0，即ax1x22a1.当a0时，上面的不等式变为01，即a0时结论成立当a0时，x1x2，由1x1x24得，1，解得0a1.当a0时，x1x2，由1x1x20)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)由f(x)为奇函数，得函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x30，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：(1)由3ax0得定义域为.(2)当a1时，y 递减并且3ax0对于任意的x(0,1恒成立，求得a(1,3；当a1时，y递增并且3ax0对于任意的x(0,1恒成立，得到a0.综上得a0或11，对任意的x1，m，都有f(x2)ex，则最大的正整数m为_解析：作出函数ye|x2|和y2ex的图象，如图可知x1时y1y2，又x4时y1e2y24e，x5时y1e3y25e，故m5，即m的最大整数值为4.答案：410已知以T4为周期的函数f(x)，当x(1,3时f(x)其中m0.若方程3f(x)x恰有5个实数解，则m的取值范围为_解析：因为当x(1,1时，将函数化为方程x21(y0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x(1,3的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y与第二个半椭圆(x4)21(y0)相交，而与第三个半椭圆(x8)21(y0)无公共点时，方程恰有5个实数解将y代入(x4)21(y0)得(9m21)x272m2x135m20，令t9m2(t0)则(t1)x28tx15t0.由(8t)2415t(t1)0，得t15.由9m215，且m0得m.同样将y代入第三个椭圆(x8)21(y0)由0可计算得m2，求函数f(x)的最小值解：(1)由已知f(x)f(x)，即|2xa|2xa|，解得a0.(2)f(x)当xa时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，由a2，xa，得x1，从而x1，故f(x)在xa时单调递增，f(x)的最小值为f；当x0知，f(x)的最小值为a1.12函数f(x)对任意的m，nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解：(1)证明：设x10.当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.f