江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题47 立体几何中的向量方法(Ⅰ)-证明平行与垂直学案 理 苏科版

学案47立体几何中的向量方法()证明平行与垂直 【导学引领】（一）考点梳理1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.向量法【自学检测】1已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_2已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，给出下列四个P点，则点P在平面内的是_P(2,3,3)；P(2,0,1)；P(4,4,0); P(3，3,4)3已知点A，B，C平面，点P平面，则0，且0是0的_条件4已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列给出的四个结论ac，bc；ab，ac；ac，ab；以上都不对其中正确结论的序号是_5已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_【合作释疑】利用空间向量证明平行问题【训练1】 如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【训练2】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点求证：PB平面EFG.利用空间向量证明垂直问题【训练1】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.【训练2】如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ；利用空间向量解决探索性问题【训练1】 如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.(1)求证：面PAC面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由【训练2】如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1