江苏省姜堰市溱潼中学2020届高三数学基础知识梳理 第3章 数列

第三章 数列基础知识梳理一、数列 定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依 次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,第n项,. 数列中的数有两个特性：有序性；可重复性. 数列与函数：数列是定义在N*(或它的有限子集1,2,n)上的函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. 数列的表示：数列的一般形式：a1,a2,a n,简记为a n.解析法：若an与n的函数关系可用一个解析式an=f (n)表示,这个公式叫做数列的通 项公式.图象法：数列的图象是一群孤立的点(n,a n)(nN*)所组成的图形(在纵轴的右边). 数列的分类：数列按项数n的取值范围分：有穷数列；无穷数列.数列按相邻项的大小关系分： 递减数列(an+1an,nN*)； 递增数列(an+1an,nN*； 摆动数列(an+1与an的大小不定nN*)； 常数列(an+1=an,nN*). 由递推关系给定的数列：已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法. an与Sn的关系：设Sn=a1+a2+an,则an=二、等差数列定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 等差数列定义的数学表达式：an+1an=d (nN*).表示方法：定义法：a2a1= a3a2=an+1an=d； 递推法： (n2)； 通项法：a1,a1+d, a1+2d, ,a1+(n1)d.,.通项公式：已知首项a1和公差d,则an=a1+(n1)d. (一般公式为：an=dn+q). 已知非首项am(m2)和公差d,则an=am+(nm)d.等差中项：如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.显然2A=a+b.前n项和公式：Sn=；或Sn=na1+.要求会推导! 前n项和的一般公式：Sn=An2+Bn (A、B为常数).性质：在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即a1+an= a2+an1 = a3+an2 = ak+ank+1； 若m+n=p+q,(m,n,p,qN*),则am+an= ap+aq； 等差数列中除首项外的每一项an(n2)都是到它距离相等的两项的等差中项, 即2an=ank+an+ k (nk)； 数列(an为等差数列的充要条件是an是关于n的一次函数(d0)或常数(d=0). 数列(an为等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn (A、B为常数). 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等差数列均匀分段后,各段的和也成等差数列, 即Sn,S2nSn, S3nS2n,SknS(k1)n (k2) 成等差数列. 三、等比数列定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示. 等比数列定义的数学表达式： (nN*). 由定义知,在等比数列中,an0,且公比q0.表示方法：定义法：； 递推法： ； 通项法：a1,a1q, a1q2, ,a1q(n1).通项公式：已知首项a1和公差d,则an=a1q(n1). 已知非首项am(m2)和公比q,则an=amq(nm).等比中项：如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. G2=ab或G=.前n项和公式：Sn= 或Sn=.要求会推导!性质：在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积. 即a1an= a2an1 = a3an2 = akank+1； 若m+n=p+q,(m,n,p,qN*),则aman= apaq； 等比数列中除首项外的每一项an(n2)都是到它距离相等的两项的等比中项, 即an2=ankan+ k (nk),或an=； 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等比数列均匀分