积分学小结――二重积分、三重积分,线积分、面积分

基本积分表,是常数),积分概念的联系,定积分,二重积分,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系（牛顿-莱布尼茨公式）,2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）,3.三重积分与曲面积分的联系（高斯公式）,X-型区域：,o,a,x,b,x,y,y=1(x),y=2(x),特点：平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解：将D看作X-型区域,则,Y型区域为：,特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.,x,y,c,d,x=y1(y),x=y2(y),例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法2.将D看作Y-型区域,则,解,积分区域如图,（）极坐标系下,例3.求,其中D：x2+y21,解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，考虑用极坐标.,令x=rcos,y=rsin,则,x2+y21的极坐标方程为r=1.,由(2),D*:0r1,02,另由几何意义：,重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,如图，,先一后二（穿线法）:,三重积分的计算,其中为三个坐标,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,()柱面坐标,()球面坐标,例.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,曲线积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计算,三代一定,二代一定(与方向有关),定积分,曲线积分,二重积分,计算,计算,Green公式,各种积分之间的联系,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,计算方法：,（一）如果积分曲线为：,(二）如果曲线L的方程为,则,（三）如果曲线L的方程为,则,例1.计算,其中L是抛物线,与点B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点O(0,0),二、对坐标的曲线积分的计算法,L的参数方程为,则,（一）,（二）L的方程为,则,（三）如果L的方程为,则,例.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,例.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,关于第二类曲线积分的计算,若曲线封闭，首先考虑使用Green公式,若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式,注意：辅助线上的积分应容易计算，辅助线的方向与曲线的方向相一致。,按第二类曲线积分的计算公式直接计算注意：起点和终点的坐标,主要内容,（二）曲面积分,曲面方程为：,对面积的曲面积分的计算法,则,例,解,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,一投影,二代入,三定号,对坐标的曲面积分,一投影,二代入,三定