河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第19讲教案 等差数列

沙城中学补习班数学第一轮复习教案 第十九讲 33 等差数列一知识网络1定义：2通项公式：，推广： d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率.3前n项的和：变式：4等差中项：若a、b、c成等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5性质:设an是等差数列，公差为d,(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2) an,an+m,an+2m组成公差为md的等差数列.(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n组成公差为n2d的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，=nak；6等差数列的判定方法(nN*)(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:7知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:, 四数8.会从函数角度理解和处理数列问题.二、经典例题【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. (2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和解(1),(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式: 解法二: 为等差数列,故可设,则解法三：方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.【例2】数列an的前n项和为Sn=npan（nN*）且a1a2，（1）求常数p的值； （2）证明：数列an是等差数列.分析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an= 求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2=0. a1a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n2时，an=SnSn1=nan（n1）an1.=.则=，=.(n3)=n1.an=（n1）a2， anan1=a2. (n3)又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.故an是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义an-an-1=d, 2.等差中项,3.通项公式an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn例3已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则数列5，8，11，和3，7，11的公差分别为3与4又因为数列5，8，11，和3，7，11的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。其和分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。解：设数列5，8，11，和3，7，11分别为设中的第n项与中的第m项相同，即根据题意得：从而有25个相同的项，且公差为12，其和(另法:由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1)方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关系,再代回an(或bm)法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.例4、等差数列an中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。解法1:由已知 又,两式相除得,从而由得：a1+a7=22, 又已知a1-a7=18,可解得a1=20,a7=2.公差d=-3, an=-3n+23.解法2:利用前奇数项和与中项的关系令m=2n-1，nN+ 则 , n=4, m=7, an=11 a1+am=2an=22, 又a1-am=18 a1=20，am=2 d=-3 an=-3n+23提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行【研讨.欣赏】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求； （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；解（1）. （2）， ， 当时，. 三、双基题目：1.设是等差数列的前项和，若，则 ( )（A） （B） （C） （D）2. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A 5 B 4 C 3 D 23.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则 ( )A. S100，S110 B. S190，S200 C. S50，S60 D. S200，S2104.(2020天津)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、设（），则数列的前10项和等于A55B70C85D100 （ ）5.等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13= 6.在等差数列中,已知,则n= .简答:1-4.ACBC;