河南省卢氏一中2020届高考数学二轮专题《空间向量与立体几何》训练

河南省卢氏一中2020届高考数学二轮空间向量与立体几何专题训练1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1ED1C1，试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值解：设正方体棱长为1，以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B1(1,1,1)，E(0，1)，F(，1，0)，连接DB1，所以(1,1,1)，(，1)由题意可知，为平面D1AC的一个法向量，cos，.所以直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为.2(2020辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为. : 3(2020南京模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点F为A1D的中点(1)证明：A1B平面AFC；(2)求二面角BAFC的余弦值解：以顶点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A1(0,0,1)，F(0，)，B1(1,0,1)(1)证明：设n(x，y,1)是平面AFC的一个法向量(0，)，(1,1,0)，(1,0，1)，n(1，1,1)n1010，n，又A1B平面AFC.A1B平面AFC.(2)设m(x1，y1,1)是平面BAF的一个法向量，(1,0,0)，m(0，1,1)cosm，n.二面角BAFC的余弦值为.4(2020郑州模拟)在边长为5的菱形ABCD中，AC8.现沿对角线BD把ABD折起，折起后使ADC的余弦值为.(1)求证：平面ABD平面CBD；(2)若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值解：(1)证明：在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD5，OA4，OD3.翻折后变成三棱锥ABCD，在ACD中，AC2AD2CD22ADCDcosADC252525532，在AOC中，OA2OC232AC2，AOC90，即AOOC，又AOBD，OCBDO.AO平面BCD，又AO平面ABD，平面ABD平面CBD.(2)由(1)知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,4)，B(0，3,0)，C(4,0,0)，D(0,3,0)，M(0，2)，(4，2)，(4，3,0)，(4,0，4)，设平面MCD的一个法向量为n(x，y，z)，则由得令y4，有n(3,4,9)，设AC与平面MCD所成的角为，sin|cos，n|，AC与平面MCD所成角的正弦值为.5.已知几何体EFGABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上(1)求证：BMEF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45，若存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由解：四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，GDDA，GDDC，又DADCD.GD平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0t1)(1)证明：(1,1，t)，(1,1,0)，1(1)11(t)00.BMEF.(2)假设存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45.设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，(0，1,1)，(1,0,1)，令z1得xy1.n(1,1, 1)， : : cosn，. : 直线BM与平面BEF所成的角为45，sin45|cosn，|.|，解得t43.又因0t1，只取t34.存在点M(0,0,34)故当M点位于DG上且DM34时，使得直线BM与平面BEF所成的角为45.6(2020山东省实验中学模拟)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A2，(1)证明：ACA1B；(2)若棱AA1上存在一点P，使得，当二面角AB1C1P的大小为30时，求实数的值解：以DA，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建系则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，B(1，1,0)，D1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(1,1，)(1)证明：(1,1,0)，(1,1，)11110()0.ACA1B. : (2)，P(，0，)设平面AB1C1的一个法向量为