河南省鹤壁高中2020届高三数学压轴第二次考试试题 文（含解析）

河南名校-鹤壁高中2020届高三压轴第二次考试数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】先化简集合B并求出其补集，然后和集合A进行交集计算.【详解】解：，或，的元素个数为2个.故选:.【点睛】本题考查了的交集、补集的运算，属于基础题2.若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】=1i，z=，则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限故选：A3.命题“对任意，”的否定是（ ）A. 不存在，B. 存在，C. 存在，D. 存在，【答案】C【解析】【分析】命题“对任意的，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化【详解】解：命题“对任意的，”是全称命题，否定时将量词对任意的实数变为存在，再将不等号变为即可，即存在，故选:.【点睛】考查全称命题的否定，属于基础题.4.已知，设为可行域内一点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】解：由题意作出其平面区域，由解得，由线性规划知识知经过点时，取得最大值，此时，时，有最大值，故选.【点睛】本题考查了线性规划、向量的数量积，属于基础题.5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原直观图，求出该几何体的表面积即可【详解】解：将三棱锥放到正方体中，由三棱锥的三视图知，是等腰直角三角形， ，,三棱锥的表面积为：,故选.【点睛】本题考查三视图的应用，属于基础题6.已知，且，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算可求，再根据定义即可求解【详解】解：由得，向量在方向上的投影为 ，故选.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义，运算及投影的概念，属于基础题.7.平面区域，在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出两区域图形，求出面积，根据几何概型即可得解.【详解】解：区域表示的是一个正方形区域，面积是2，表示以为圆心，为半径的上半圆外部的区域，则在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是 ，故选.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题.8.给出下列命题：（1）存在实数使 .（2）直线是函数图象的一条对称轴.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，则.其中正确命题的题号为（ ）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）【答案】C【解析】【分析】（1）化简求值域进行判断；（2）根据函数的对称性可判断；（3）根据余弦函数的图像性质可判断；（4）利用三角函数线可进行判断.【详解】解：（1），（1）错误；（2）是函数图象的一个对称中心，（2）错误；（3）根据余弦函数的性质可得的最大值为，其值域是，（3）正确；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函数线有，（4）正确.故选.【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，以及三角函数线定义，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题9.如图，直二面角，且，则点在平面内的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 一条直线D. 两条直线【答案】A【解析】【分析】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，写出点，的坐标，根据条件得出，设出点的坐标，利用两点间的距离公式及相似，即可得到轨迹方程，从而判断其轨迹【详解】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则， ，即，整理得：，故点的轨迹是圆的一部分，故选.【点睛】本题以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力，转化能力，属于难题10.已知曲线（为参数），点为在轴、轴上截距分别为8，-4的直线上的一个动点，过点向曲线引两条切线，其中为切点，则直线恒过点（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件转化得出曲线C和直线的直角坐标方程，根据题意设的坐标，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减表示出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标【详解】解：是直线的任一点，设，曲线（为参数），即圆，由题意知，则点在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且，圆的方程：，又，-得，即公共弦所在的直线方程： 即，由 解得：直线恒过定点，故选.【点睛】本题考查了参数方程，圆的切线性质，圆和圆的位置关系，公共弦所在直线求法以及直线过定点问题，属于中档题11.已知函数在区间的值域为，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】整理函数，可发现其对称中心，可求在上的最大值与最小值之和.【详解】解： 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.【点睛】本题考查函数奇偶性和对称中心的知识，考察了计算能力，属于难题.12.在中，角，所对应的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：结合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值【详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当，时取等号，, 则，所以面积的最大值1. 故选:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，属于难题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.与双曲线具有相同的渐近线，且经过点的双曲线方程是_【答案】【解析】【分析】与双曲线有相同的渐近线的所求双曲线的方程设为，代入已知点的坐标，解方程可得所求双曲线方程【详解】解：设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线的方程为，代入点，解得，则所求双曲线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查方程思想和运算能力，属于基础题14.若曲线的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为_【答案】2【解析】【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数，解得x的值，结合函数定义域即可得解【详解】解：，解得（舍去）或，所以，故答案为：2.【点睛】本题考查导数的几何意义，曲线上某点处的切线斜率的意义以及函数的定义域，属于基础题.15.平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，若，则为_【答案】【解析】分析】利用任意角三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解【详解】解：由题意知：，由，得， ，故答案为：.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式，属于基础题16.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，直线 与双曲线的一个交点满足，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系即可得到，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】解：如图所示，直线的斜率，则对应直线的倾斜角为，即，则，即， ，由双曲线的定义可得：，即，即 ，即双曲线的离心率 ，故答案为：.【点睛】熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列满足，且成等差数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) ，；(2) .【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及性质可得，再利用可得（2）利用裂项相消法即可得解.【详解】解：（1）数列中，则是等比数列，因为成等差数列，则 ，即，解得：（舍去）所以， 当时，所以 当时，由-得 所以： 经检验，时也符合上式，故.（2）由（1）得： 所以： .【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及性质，考查和裂项相消法求和，属于中档题.18.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：年龄（单位：岁） 频数510151055赞成人数51012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数于年龄低于55岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表；计算观测值，对照参考数据，得出结论（2）年龄在，中不赞成“使用微信交流”的人为，赞成“使用微信交流”的人为，则从5人中随机选取2人，列出所有事件总数，即可求解2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率【详解】解：（1）列联表如下：年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计赞成33437不赞成7613合计104050 ，所以有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.（2）设年龄在中不赞成“使用微信交流”的人为，赞成“使用微信交流”的人为，则从5人中随机选取2人有 ，共10种结果，其中2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的有，共7种结果，所以2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率为.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概型的概率问题，是基础题19.在如图所示的五面体中，四边形为正方形，平面平面，为线段的中点.（1）证明：平面 ；（2）求该五面体的体积.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）根据题意，可推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面（2）推导出，从而平面平面将五面体分成四棱锥和三棱锥，该五面体的体积，由此能求出结果【详解】（1）因为，所以，又四边形是正方形，所以，故四边形为平行四边形故因为平面，平面所以平面（2）因为平面平面，四边形为正方形，所以，所以平面，在中，因为，故，又，所以由余弦定理，得，所以，则，平面将五面体分成四棱锥和三棱锥故.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查五面体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题20.已知椭圆的左、右顶点为，椭圆上任意一点，满足，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线 （为参数）上，线段的中垂线与交于两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 存在点符合条件，坐标为.【解析】【分析】（1）设，根据题意列出方程，联立求解即可；（2）直线参数方程转换为普通方程，当直线垂直于轴时，三点共线不符合题意；当直线不垂直与轴时，设存在点，直线的斜率为，根据题意利用圆的性质和垂直向量点积为0，列出方程求解可得答案.【详解】解：（1）设，则 ，,椭圆过点， 联立解得：所求椭圆方程为： （2）将直线的参数方程： （为参数）化为普通方程，当直线垂直于轴时，直线方程为：，此时 ，与点三点共线，不合题意；当直线不垂直与轴时，设存在点，直线的斜率为， 由 得：，则 ，故 此时，直线斜率为，的直线方程为，即联立，整理得： 所以， 由题意，于是 ，因为在椭圆内，符合题意；综上，存在点符合条件，坐标为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、圆的性质、参数方程的转化以及向量的运用，属于难题.21.已知函数.（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1) 只有一个零点；(2) 【解析】【分析】（1）根据可得，为递增函数，再根据零点存在性定理得出答案.（2）将不等式整理转化为求函数在的最小值，利用导数判断单调性和取值范围，遂可得解.【详解】解：（1）函数的导数 ，则在区间递增，又 ，则函数在区间上只有一个零点；（2）若关于的不等式在上恒成立，整理得，即求函数在的最小值由的导数 ，由的导数为，可得时，函数递增，时，函数递减，则，即，当时， ，则在递增，可得，则.【点睛】本题考查了导数的应用，零点存在性定理和恒成立问题，考查了计算能力和逻辑能力，属于中档题.22.已知曲线参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】（1）化圆的参数方程为直角坐标方程，再由，化极坐标方程；对展开两角和的余弦，结合，可得直线的直角坐标方程；（2）分别把，代入圆与直线的极坐标方程，求得，的极坐标，再由，可得的面积【详解】解：（1）由（为参数），得，即，由，得，；由，得，即；（2）当时，代入圆极坐标方程，易得：；代入直线极坐标方程，得：；当时，,的面积