高考数学 2014全套汇编：第8章 立体几何 第1节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

【数学】2014版6年高考4年模拟立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 六年高考荟萃2013年高考题 （2013年高考新课标1（理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD答案：A 设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R2）2+42，解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V=故选A （2013年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD答案：A 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4所以长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8所以这个几何体的体积是16+8；故选A （2013年高考湖北卷（理）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（）ABCD 答案：C本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为，所以，故选C. （2013年高考湖南卷（理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A BCD 答案：C本题考查三视图的判断。因为正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则说明正方体为水平放置，则正视图的最大面积为正方体对角面，此时面积为，最小面积为正方体的一个侧面，面积为1，所以侧视图的面积,所以面积不可能的是，选C. （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 正视图俯视图侧视图第5题图（）ABCD答案：B 由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故,故选B（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题图所示,则该几何体的体积为（）ABCD答案：C【命题立意】本题考查三视图以及空间几何体的体积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4,。所以梯形的面积为，所以四棱柱的体积为，选C.（2013年高考四川卷（理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 答案：D 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B故选D（2013年高考陕西卷（理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_.答案：【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.答案： 如图所示，设球O的半径为r，根据题意得OC=，CK=在OCK中，OC2=OK2+CK2，即所以r2=4所以球O的表面积等于4r2=16故答案为16（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_.43233正视图侧视图俯视图（第12题图）答案：24 ：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3如图：V=V棱柱V三棱锥=3=24（cm3）故答案为：24（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.答案：由三视图可知该几何体圆柱中去除正四棱柱。所以该几何体的体积。（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_答案： 由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2012年高考题1.2012重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)答案：A解析 如图所示，设ABa，CD，BCBDACAD1，则ACDBCD45，要构造一个四面体，则平面ACD与平面BCD不能重合，当BCD与ACD重合时，a0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在ABC中，ACBACDBCD454590，AB，所以a的取值范围是(0，)2. 2012辽宁卷 一个几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为_答案：38解析 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法解题的突破口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积S长方体表面积圆柱的侧面积圆柱的上下底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高为4、3、1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以S2(434131)21121238.3.2012北京卷 某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306 C5612 D6012答案：B解析 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.4.2012安徽卷 某几何体的三视图如图13所示，该几何体的表面积是_图13答案：92解析 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为S424254445492.5. 2012天津卷 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案：189解析 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力，容易题由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V63123189.6.2012福建卷 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥C正方体 D圆柱答案：D解析 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球的三视图大小、形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同7. 2012广东卷 某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A12 B45C57 D81答案：C解析 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的半径R3，圆锥的高h4，圆柱的高为5，所以V组合体V圆柱V圆锥32532457，所以选择C.8. 2012湖北卷 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3C. D6答案：B解析 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以V223.故选B.9.2012湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案：D解析 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握是基础题型. 选项A，B，C，都有可能，选项D的正视图应该有看不见的虚线，故D项是不可能的易错点 本题由于对三视图的不了解，易错选C，三视图中看不见的棱应该用虚线标出10. 2012课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18答案：B解析 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为3，故该几何体的体积是V6339，故选B.11.2012浙江卷 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.答案：1解析 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则VSh1321.点评 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等2011年高考题1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80【答案】C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）1第6题图答案：D解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。10.(2011年高考广东卷理科7)如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，。所以选B11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A）（B） （C）（D）【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】：由圆的面积为得，在 故选D 16(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D【答案】C1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。3(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 【答案】【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.4. (2011年高考四川卷理科15)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案：解析：时，则6(2011年高考福建卷理科12)三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_。【答案】7(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结AF,因为EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易证,所以,即,即,又M为AD的中点,所以,又因为D，所以M,所以四边形AMGF是平行四边形,故GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面.2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.2.（2010陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）1（C）（D）【答案】 B解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为3.（2010辽宁文）（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）【答案】A【解析】选A.由已知，球的直径为，表面积为4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】 D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等6.（2010浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【答案】B【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题7.（2010北京文）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；【答案】 C8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： 答案：C9.（2010北京理）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关【答案】D10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 【答案】 C11.（2010广东理）6.如图1， ABC为三角形，/, 平面ABC且3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是【答案】D12.（2010广东文）13.（2010福建文）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故二、填空题1.（2010上海文）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。【答案】96【解析】考查棱锥体积公式2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm【答案】4 3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_.解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题4.（2010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为5.（2010辽宁理）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ = 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。三、解答题1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略2.（2010陕西文）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.3.（2010安徽文）19.(本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小为arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) 取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC12分2009年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+243.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时, 区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选B7.如图，在半径为3的球面上有三点， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 答案 B8若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_12若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案答案 414. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 15正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 答案 17如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B 是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .答案 18.已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_.答案 2三、解答题20（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为： （）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 2008年高考题一、选择题1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED答案 A2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号。3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为3. (2007宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）102010202020俯视图侧视图正视图 答案B4. （2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B二、填空题11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案 【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且.12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积.第二部分 四年联考汇编2013-2014年联考题一基础题组1.【2014福建南安】下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A. 三角形 B. 四边相等的四边形 C. 梯形 D.平行四边形2.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.3.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ）存在一条直线； 存在一个平面；存在两条平行直线；存在两条异面直线.A. B. C. D.4.【2014福建南安】如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A B C D5.【2014福建南安】的斜二侧直观图如图所示，则的面积为（ ）A B C D6.【2014安徽涡阳蒙城】 如图、为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D三棱柱、三棱台、圆锥、圆台7.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】在三棱锥中，则与平面所成角的余弦值为 .8.【2014福建南安】已知一个球的表面积为，则这个球的体积为 。9.【2014福建南安】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_ 。10. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h_.二能力题组11.【2014福建南安】设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则 若，则若，则 若，则正确命题的个数是( )A1B2C3 D4【答案】D【解析】12.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）（A） （B） (C) (D) 【答案】D【解析】试题分析：三视图所对应空间几何体的直观图如下图所示,底面三角形是边长为4的正三角形,平面,13.【2014安徽涡阳蒙城】设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确命题的序号是 ( )A.和B.和C.和D.和14.【2014安徽涡阳蒙城】等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为_【答案】 【解析】试题分析：15.【2014安徽涡阳蒙城】一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是_.(把你认为正确的序号都填上)故答案为：（2）（3）（4）考点：1、正方体的结构特征；2、截面的作法.16.【2014福建南安】（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，分别为的中点.（1）求证：EF平面;（2）若平面平面，且，求证：平面平面 试题解析：证明：（1）分别是的中点，.又平面，平面，平面.（6分）（2）在三角形中，为中点，.17.【2014福建南安】（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，,（1）求证： 平面；（2）求异面直线与所成角的大小。试题解析：（1） 又又（6分）18.【2014福建南安】如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：是等边三角形； ； 三棱锥的体积是；AB与CD所成的角是60。其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】试题分析：设， 根据图可知,再由，可知面是等边三角形;由，可得，从而有;三棱锥D-ABC的体积= ;过作,则（或补角）为所求角，在中可解的，故与所成的角为.考点：本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置.19. 【2014福建安溪八中12月月考数学理】（本小题满分13分）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 试题解析：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面