测量平差练习题及参考答案

计算题计算题 1、如图，图中已知 A、B 两点坐标，C、D、E 为待定点，观测了所有内角，试 用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。 解：观测值个数 n=12，待定点个数 t=3，多余观测个数 r=n-2t=6 图形条件 4 个： )180(0 )180(0 )180(0 )180(0 121110121110 987987 654654 321321 LLLwwvvv LLLwwvvv LLLwwvvv LLLwwvvv dd cc bb aa 圆周条件 1 个： )360(0 963963 LLLwwvvv ee 极条件 1 个： ) sinsinsin sinsinsin 1 ( 0cotcotcotcotcotcot 852 741 774411885522 LLL LLL w wvLvLvLvLvLvL f f 2、设有一函数2535 xT，6712yF其中： nn nn LLLy LLLx 2211 2211 iA、i=B（i1，2，n）是无误差的常数，Li的权为 pi=1，pij0（ij）。 1）求函数 T、F 的权； 2）求协因数阵Q。 TFTy Q、 2、解： （1）L 向量的权阵为： 100 0 10 001 p 则 L 的协因数阵为： 100 0 10 001 1 pQLL 2531115 253555 253555 253)(*5 2535 2 1 21 2211 2211 n n nn nn L L L A ALALAL LLL LLL xT 6711112 671222 671222 671)(*2 6712 2 1 21 2211 2211 n n nn nn L L L B BLBLBL LLL LLL yF 依协因数传播定律 则函数 T 的权倒数为： 2 25)1115(*1115 1 nAAQAQ p T LLTT T 则： 2 251nApT 则函数 F 的权倒数为： 2 4)1112(*1112 1 nBBQBQ p T LLFF F 则： 2 41nBpF （2） n n nn L L L B BLBLBL LLLy 2 1 21 2211 111 依协因数传播定律 nABBQAQ T LLTy 5)111(*1115 nABBQAQ T LLTF 10)1112(*1115 3、如图所示水准网，A、B 、C三点为已知高程点， D、E为未知点，各观测 高差及路线长度如下表所列。 用间接平差法计算未知点D、E的高程平差值及其中误差； A C B D h1 h2 h3 h4 h5 E h6 高差观测值/m 对应线路长度/km 已知点高程/m h1= -1.348 h2= 0.691 1 1 HA=23.000 HB=23.564 h3= 1.265 h4= -0.662 h5= -0.088 h5= 0.763 1 1 1 1 CB=23.663 3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4； 选D、E平差值高程为未知参数 21 XX 、 则平差值方程为： 16 15 14 23 22 211 XHh HXh HXh HXh HXh XXh A A B A B 则改正数方程式为： 616 515 414 323 222 1211 lxv lxv lxv lxv lxv lxxv 取参数近似值 255.24907.22 2 0 221 0 1 1 hHXhhHX BB 、 令 C=1，则观测值的权阵： 10 1 1 1 1 01 P 01 01 01 10 10 11 B 7 5 5 10 0 0 )( )( )( )( )( )( )( 0 16 0 15 0 14 0 23 0 22 0 2 0 11 0 6 5 4 3 2 1 XHh HXh HXh HXh HXh XXh dBXh l l l l l l l C A B A B 组法方程0WxN，并解法方程： 31 14 PBBN T 10 7 PlBW T 3 1 10 7 41 13 11 1 1W Nx 求D、E平差值： mxXXH mxXXH D C 258.24 906.22 2 0 22 1 0 11 2）求改正数： 6 6 4 7 3 4 lxBv 则单位权中误差为： mm r pvvT 36. 6 4 162 0 则平差后D、E高程的协因数阵为： 41 13 11 1 1 NQ XX 根据协因数与方差的关系，则平差后D、E高程的中误差为： mmmmQ mmmmQ E D 84. 3 11 229 32. 3 22 669 220 110 4、如图，在三角形ABC中，同精度观测了三个内角：， ， 400060 1 L 500070 2 L700050 3 L ，按间接平差法列出误差方程式。 解：必要观测数 t=2，选取、的平差值为未知数、，并令、， 则 1 L 2 L 1 X 2 X 1 0 1 LX 2 0 2 LX 222 0 22 111 0 11 xLxXX xLxXX 16 180 180 213213 2222 1111 2133 222 111 xxLXXv xLXv xLXv XXvL XvL XvL 5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。 解：观测值个数 n=8，待定点个数 t=2，多余观测个数42 tnr 3 个图形条件，1 个极条件。 ) sinsinsinsin sinsinsinsin 1 ( 0cotcotcotcotcotcotcotcot )180(0 )180(0 )180(0 7531 8642 8877665544332211 87658765 65436543 43214321 LLLL LLLL w wvLvLvLvLvLvLvLvL LLLLwwvvvv LLLLwwvvvv LLLLwwvvvv d d cc bb aa 6、如下图所示， 为未知P点误差曲线 （图中细线） 图和误差椭圆图 （图中粗线） ， A、B为已知点。 1）试在误差曲线上作出平差后PA边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差，并说明； 3）若点P点位误差的极大值E5mm，极小值F2mm，且,试计算方 位角为102的PB边的中误差。 52 F 解：1）在误差曲线上作出平差后PA边的中误差； 连接PA并与误差曲线交点a，则Pa长度为平差后PA边的中误差 Pa PA 2）在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差； 作垂直与PA方向的垂线Pc，作垂直与Pc方向的垂线cb，且与误差椭圆相切， 垂足为c点，则Pc长度为平差后PA边的横向误差 PA u 则平差后PA方位角的中误差： PAPA u S Pc S PA PA A B P a c b 3）因为 52 F 则：142 E 则：40142102 E 所以： 323.16 )40(sin*4)40(cos*25 sincos 22 222222 FE 方位角为102的PB边的中误差：mm04. 4 证明题证明题 如下图所示，A，B点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路 线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。 h1 h2 S A B 证明：设水准路线全长为S，h1水准路线长度为T，则h2水准路线长度为S-T； 设每公里中误差为单位权中误差，则 h1的权为1/T，h2的权为1/(S-T)；则其权阵为： )/(10 0/1 TS T P 平差值条件方程式为： HA+ 0 21 HBhh 则 A=( 1 1 ) SAAPN T 1 由平差值协因数阵： LL T LLLL LL AQNAQQQ 1 则高差平差值的协因数阵为： 11 11 )( 1 S TST AQNAQQQ LL T LLLL LL 则平差后P点的高程为： 2 1 1 01 h h