高三数学 透析考题信息提升解题驱动力（通用）

透析考题信息，提升解题驱动力2020年高考数学湖北卷，试卷背景新颖，创新于数学史料加工，顺应于高考改革走向，融数学本质、数学素养和数学文化于一体，内涵丰富，思想深刻，给人耳目一新的感觉笔者结合2020年湖北卷数学第21题探讨如何透析考题信息，提升解题驱动力一、考题再现题目 一种作图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求曲线的方程；（）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由xDOMNy图2图1二、考题条件的思维分析首先，我们要根据作图工具实物的形象，抽象地建立一个数学模型审题发现，本题的条件有：；，隐含信息为是定点，均为动点，且三点共线条件，揭示是等腰三角形，而等腰三角形具有“三线合一”的性质；条件，是定点，揭示了动点到定点的距离为定值1，即动点的轨迹是一个圆，其方程为；条件，结合，得知点是线段的接近点的三等分点，综合上述对已知信息的思维分析可知，动点的轨迹是一个圆，点的运动主导着点的运动，自然决定着点的变化，因此，欲求点的轨迹曲线的方程，势必运用几何法或者相关点转移法三、第一问的求解思路我们能否判断出曲线的类型呢？试想，当在轴的负半轴上时，显然的坐标是；当在轴的正半轴上时，显然的坐标是；当在轴的负半轴上时，显然的坐标是；当在轴的正半轴上时，显然的坐标是；据此，可推测曲线的轨迹是椭圆，且，曲线的方程为这样一来，解题目标自然变成了围绕猜测结果构建一个严谨又无失分点的解题过程运用数学问题中的普遍与特殊的关系，通过对特殊情况的研究来判断或者猜测一般规律，这正是一般化与特殊化的思想的应用法1 设点，依题意，且，所以，且即，且，由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为xDOMNy图3法2 设点，依题意，且，过分别作轴的垂线，垂足分别为，由平面几何知识，可得： ，因为，所以，即本题的作图工具与椭圆的第一定义的作图工具不同，是椭圆的又一种尺规作图圆锥曲线的尺规作图是值得我们深入研究的经久不衰的话题四、第二问的求解思路运用极限的思想，试想，当椭圆的切线趋近于平行已知的任意一条定直线时，三角形的面积自然趋向无穷大，所以的面积不可能有最大值；又由于，而是定值，所以的面积取决于，结合椭圆的对称性自然猜想到时取得最小值，此时直线与坐标轴平行，最小值是图4法1 （1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由，消去，可得：，因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即. 又由，可得；同理可得由原点到直线的距离为和，可得：，所以，当时，；当时，.因，则，所以，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8. 评注 若直线与曲线相切于点，则直线也可以应用隐函数的导数求解如，两边求导，即，则点处的切线方程为，即，整理即得；法2 设直线与椭圆相切于点，则直线可表示为，由，可得；同理可得又，或所以，因为，所以，又因为，所以故的面积取得最小值8，此时，直线与椭圆在四个顶点处相切 评注 若求出的顶点坐标，也可以应用行列式求解的面积，即本题中的的面积五、第二问的拓展反思1：本题的结论是否具有一般性呢？引申1：若直线与椭圆相切于点，动直线与两定直线和分别交于两点，则，其最小值是反思2：本题的结论是否可以类比到双曲线呢？引申2：若直线与双曲线相切于点，动直线与两定直线和分别交于两点，则是定值，且该定值为问题解决的策略是多种多样的，既取决于对问题题设信息的理解与认识，又取决于解题主体的知识积累与经验，解题的机智往往就在于你是否真正透彻地熟悉信息、理解信息、运用信息，能否对信息的捕捉和储备知识及方法的有序组合，能否抓住问题的数学本质，而对问题本质的发现还在于我们对