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文档简介

高三数学数列的综合应用高三数学数列的综合应用苏教版(文)苏教版(文) 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容: 数列的综合应用 二. 教学目的: 通过对数列本质内容的理解与学习,比较熟练地运用函数思想解决有关数列的问题, 以及等价转化思想的运用与理解。 三. 教学重、难点 教学重点:深刻领会等差数列与等比数列的概念与思想方法,能运用两种数列的思想 方法解决有关问题。 教学难点:分析问题与解决问题能力的提高。 学习过程 一、基础训练 1. 设数列的前项和为(). 关于数列有下列三个命题: n an n SNn n a (1)若既是等差数列又是等比数列,则; n a)( 1 N naa nn (2)若,则是等差数列;RbanbnaSn、 2 n a (3)若,则是等比数列.n n S11 n a 这些命题中,真命题的序号是 (1) 、 (2) 、 (3) . 2. 设 Sn是等差数列an的前 n 项和,已知 S636,Sn324,Sn6144,则 n_18_ 3. 北京市为成功举办 2020 年奥运会,决定从 2020 年到 2020 年五年间更新市内现有的 全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2020 年底更新现有总车辆数 (参考数据 1.141.46,1.151.61) (B) A. 10% B. 16.5% C. 16.8% D. 20% 4. 设为公比 q1 的等比数列,若和是方程的两根,则 n a 2004 a 2005 a 2 4830 xx _18_. 20072006 aa 5. 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若,且 A、B、C 三点 1 OaB 200 OAaOC 共线(该直线不过原点 O) ,则 S200( A ) A. 100B. 101 C. 200D. 201 6. 等差数列an中,a15,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项 的平均值是 4,则抽取的是第 11 项 7. 若数列为等差数列,则数列也为等)( Nnan)( 321 Nn n aaaa b n n 差数列,类比上述性质,相应地,若数列cn是等比数列且,则有数列)(0 Nncn dn(nN)也是等比数列。 1 2 3 n n c c cc 8. 已知数列an的通项公式 anlog2,设其前 n 项和为 Sn,则使 n+ 1 n+ 2(n N) Sn5 成立的正整数 n ( A) A. 有最小值 63 B. 有最大值 63 C. 有最小值 31 D. 有最大值 31 9. 对正整数 n,设曲线在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为,则数列)1 (xxy n n a 的前 n 项和的公式是 。 1 n an 1 22 n 【典型例题典型例题】 例 1. 如图,64 个正数排成 8 行 8 列的方阵。符号表示位(18,18,*) ij aijijN 于第 i 行第 j 列的正数。已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的 公比都等于。若,q 11 1 2 a 24 1a 32 1 4 a (1)求的通项公式; ij a (2)记第行各项和为,求的值及数列的通项公式;k k A 1 A k A (3)若,求的值。1 k A k 1111218 (2)18.Aaaa 36 (3)1,1.6,7,8. 2 k k Ak 即 例 2. 我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个首项为 1,公比为的数列依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一q n a 格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 第 1 列第 2 列第 3 列 第列n 第 1 行111 1 第 2 行 q 第 3 行 2 q 第行n 1n q (1)设第 2 行的数依次为,试用表示的值; n BBB, 21 qn, n BBB 21 (2)设第 3 列的数依次为,求证:对于任意非零实数, n cccc, 321 q ; 231 2ccc (3)能否找到的值,使得(2) 中的数列的前项 q n cccc, 321 m m ccc, 21 ()成为等比数列?若能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由.3m 能否找到的值,使得填完表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项各自q 依次成等比数列?并说明理由. 解:解:(1) , qnBqqBqBqB n ) 1(,2)1 (1,1, 321 所以 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 nqnBBB n ) 1(21 21 nq nn 2 ) 1( (2) ,1 1 cqqc2)1 (1 2 , 22 3 23)1 ()2(qqqqqc 由 ,)2(22312 2 231 qqqccc0 2 q 得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 231 2ccc (3) 先设成等比数列,由,得 321 ,ccc 2 231 ccc ,。 22 )2(23qqq 2 1 q 此时 ,1 1 c 4 9 , 2 3 32 cc 所以是一个公比为的等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 321 ,ccc 2 3 如果,为等比数列,那么一定是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4m m ccc, 21 321 ,ccc 由上所述,此时, 由于, 2 1 q1 1 c 4 9 , 2 3 32 cc 8 23 4 c 2 3 3 4 c c 因此,对于任意,一定不是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4m m cccc, 321 综上所述,当且仅当且时,数列是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3m 2 1 q m cccc, 321 设和分别为第列和第列的前三项, 321 ,xxx 321 ,yyy1k1m ,11nmk 则,qkxx 21 , 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 )321 (qkqkx 2 2 ) 1( qkq kk 若第列的前三项是等比数列,则由,得1k 321 ,xxx 2 231 xxx , 22 2 ) 1( qkqkq kk , 0 2 2 kq kk 2 1k q 同理,若第列的前三项是等比数列,则 1m 321 ,yyy 2 1m q 当时, 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所以,无论怎样的 ,都不能同时找到两列数 (除第 1mk 2 1 2 1mk q 列外) ,使它们的前三项都成等比数列 例 3. 在等差数列中,前项和满足条件, n a 1 1a n n S 2 42 ,1,2, 1 n n Sn n Sn (1)求数列的通项公式; n a (2)记,求数列的前项和。(0) n a nn ba pp n bn n T 2 12 42 1,1,2,21,. 1 n n n Sn anadan Sn (1)解:,又, 例 4. 已知数列满足 n a * 1221 1,3,32(). nnn aaaaa nN (1)证明:数列是等比数列; 1nn aa (2)求数列的通项公式; n a (3)若数列满足证明是等差数列。 n b 12 111* 44.4(1) (), nn bbbb n anN n b 所以数列是等 * 21211 132().2() nnnnnnn aaa nNaaaa 解() 1nn aa 比数列。 例 5. 设无穷等差数列的前 n 项和为. n a n S (1)若首项,公差,求满足的正整数 k; 1 a 3 2 1 d 2 )( 2k k SS (2)求所有的无穷等差数列,使得对于一切正整数 k 都有成立. n a 2 )( 2k k SS 解:解:(1)当 a1,d1 时, 2 3 Snna1n2nd nn 2 ) 1( 2 1 由得k4k2(k2k)2 2 )( 2 k k SS 2 1 2 1 解得 k4 (2)设数列an的公差为 d,则在中,分别取 k1, 2得: 2 )( 2 k k SS 2 24 2 11 )( )( SS SS 解得 a10 或 a11 当 a10 时,d0 或 d6 若 a10,d0,则 an0,Sn0,从而成立 2 )( 2 k k SS 若 a10,d6,由于(S3)2S9,故不符合题意 当 a11 时,d0 或 d2 若 a11,d0,则 an1,Snn,从而成立 2 )( 2 k k SS 若 a11,d2 则 an2n1,Snn2,从而成立 2 )( 2 k k SS 综上所述,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: an:an0 an:an1 an:an2n1 例 6. 设等差数列an的首项 a1及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (1)若 a11=0,S14=98,求数列an的通项公式; (2)若 a16,a110,S1477,求所有可能的数列an的通项公式. 解:解:(1)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0, 故解得 d=2,a1=20. 因此,an的通项公式是 an=222n,n=1,2,3 (2)由得 即 6a , 0a ,77S 1 11 14 6a , 0d10a ,11d13a2 1 1 1 12a2 , 0d20a2 ,11d13a2 1 1 1 由+得7d11,即 d。由+得 13d1,即 d 7 11 13 1 于是d又 dZ,故 d=1。将代入得 10a112. 7 11 13 1 又 a1Z,故 a1=11 或 a1=12.所以,所有可能的数列an的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3, 【模拟试题模拟试题】 (答题时间:40 分钟) (一)选择题 1. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A. 5B. 4 C. 3D. 2 2. 设,则等于 4710310 ( )22222() n f nnN ( )f n A. B. C. D. 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n 3. 已知等差数列和等比数列各项都是正数,且,那么,一定 n a n b 112121 , nn ab ab 有 A. C. 1111 . nnnn abB ab 1111 . nnnn abD ab (二)填空题 4. 数列中, ,则 。 n a 1 2,a 1 2, 2,2 n n n a akZ ank n=2k+1 k0 5 a 5. 等差数列中,公差不为零,且恰为某等比数列的前 3 项,那么 n a 1 2a 1311 ,a a a 该等比数列的公比等于 。 6. 是等差数列的前 n 项和,若,则 m = n S n a0 n a 2 11 0, mmm aaa 21 38 m S 。 7. 在等比数列an中,S41,S83,则 a17a18a19a20的值是_。 8. 在数列an中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n1) ,则该数列的通项 an=_. 9. 如果函数满足:对于任意的实数,都有,且,则( )f xab、()( ) ( )f abf a f b(1)2f 。 (2)(5)(9)(14)(1274) (1)(3)(6)(10)(1225) fffff fffff (三)解答题 10. 若数列满足前 n 项之和,求: n a22),(42 11 * bbabNnaS nnnnn 且 (1)bn (2)的前 n 项和 Tn。 n b 11. 下表给出一个“等差数阵” 47( )( )( ) a1j 712( )( )( ) a2j ( )( )( )( )( ) a3j ( )( )( )( )( ) a4j ai1ai2ai3ai4ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第 i 行第 j 列的数 (1)写出 a45的值 (2)写出 aij的计算公式 (3)证明正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N1 可以写成两个不是 1 的正整 数之积。 12. 数列an的前 n 项和为 Sn,且 a11,an1Sn,n1,2,3 3 1 求:(1)a2、a3、a4的值及an的通项公式; (2)a2a4a6a2n的值. 13. (2020 年福建)已知an是公比为 q 的等比数列,且 a1、a3、a2成等差数列 (1)求 q 的值. (2)设bn是以 2 为首项,以 q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n2 时, 比较 Sn与 bn的大小,并说明理由 试题答案试题答案 1. C2. D3. B4. 205. 46. 107. 168. 2n+1-39. 250-2 10. 解:(1)当 n=1 时,= 1 a4a4a2S 111 当时, 即2n 4a24a2SSa 1nn1nnn 1nn a2a 2 a a 1n n 1n n 2a n 1n 1n b22b 1 2 b 2 b n n 1n 1n 又 ()1 2 b 1 1 n11n1 2 b n n )( n n 2nb * Nn (2) n2 n 2n2221T 1nn2 n 2n21n21T2 )( 两式相减得 ()221nT 1n n )( * Nn 11. 解:(1)a41a11(41)313 a42a12(41)522 a45a41(51)949 (2)ai1a11(i1)33i1 ai2a12(i1)55i2

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