高三数学数列的综合应用苏教版（文）知识精讲

高三数学数列的综合应用高三数学数列的综合应用苏教版（文）苏教版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数列的综合应用 二. 教学目的： 通过对数列本质内容的理解与学习，比较熟练地运用函数思想解决有关数列的问题， 以及等价转化思想的运用与理解。 三. 教学重、难点 教学重点：深刻领会等差数列与等比数列的概念与思想方法，能运用两种数列的思想 方法解决有关问题。 教学难点：分析问题与解决问题能力的提高。 学习过程 一、基础训练 1. 设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题： n an n SNn n a （1）若既是等差数列又是等比数列，则； n a)( 1 N naa nn （2）若，则是等差数列；RbanbnaSn、 2 n a （3）若，则是等比数列.n n S11 n a 这些命题中，真命题的序号是 （1） 、 （2） 、 （3） . 2. 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，已知 S636，Sn324，Sn6144，则 n_18_ 3. 北京市为成功举办 2020 年奥运会，决定从 2020 年到 2020 年五年间更新市内现有的 全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增 10%，则 2020 年底更新现有总车辆数 （参考数据 1.141.46，1.151.61） （B） A. 10% B. 16.5% C. 16.8% D. 20% 4. 设为公比 q1 的等比数列，若和是方程的两根，则 n a 2004 a 2005 a 2 4830 xx _18_. 20072006 aa 5. 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若，且 A、B、C 三点 1 OaB 200 OAaOC 共线（该直线不过原点 O） ，则 S200（ A ） A. 100B. 101 C. 200D. 201 6. 等差数列an中，a15，它的前 11 项的平均值是 5，若从中抽取 1 项，余下 10 项 的平均值是 4，则抽取的是第 11 项 7. 若数列为等差数列，则数列也为等)( Nnan)( 321 Nn n aaaa b n n 差数列，类比上述性质，相应地，若数列cn是等比数列且，则有数列)(0 Nncn dn（nN）也是等比数列。 1 2 3 n n c c cc 8. 已知数列an的通项公式 anlog2，设其前 n 项和为 Sn，则使 n+ 1 n+ 2(n N) Sn5 成立的正整数 n （ A） A. 有最小值 63 B. 有最大值 63 C. 有最小值 31 D. 有最大值 31 9. 对正整数 n，设曲线在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为，则数列)1 (xxy n n a 的前 n 项和的公式是 。 1 n an 1 22 n 【典型例题典型例题】 例 1. 如图，64 个正数排成 8 行 8 列的方阵。符号表示位(18,18,*) ij aijijN 于第 i 行第 j 列的正数。已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的 公比都等于。若，q 11 1 2 a 24 1a 32 1 4 a （1）求的通项公式； ij a （2）记第行各项和为，求的值及数列的通项公式；k k A 1 A k A （3）若，求的值。1 k A k 1111218 (2)18.Aaaa 36 (3)1,1.6,7,8. 2 k k Ak 即 例 2. 我们在下面的表格内填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个首项为 1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一q n a 格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 第 1 列第 2 列第 3 列 第列n 第 1 行111 1 第 2 行 q 第 3 行 2 q 第行n 1n q （1）设第 2 行的数依次为，试用表示的值； n BBB, 21 qn, n BBB 21 （2）设第 3 列的数依次为，求证：对于任意非零实数， n cccc, 321 q ； 231 2ccc （3）能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 q n cccc, 321 m m ccc, 21 （）成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.3m 能否找到的值，使得填完表格后，除第 1 列外，还有不同的两列数的前三项各自q 依次成等比数列？并说明理由. 解：解：（1） ， qnBqqBqBqB n ) 1(,2)1 (1,1, 321 所以 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 nqnBBB n ) 1(21 21 nq nn 2 ) 1( （2） ，1 1 cqqc2)1 (1 2 ， 22 3 23)1 ()2(qqqqqc 由 ，)2(22312 2 231 qqqccc0 2 q 得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 231 2ccc （3） 先设成等比数列，由，得 321 ,ccc 2 231 ccc ，。 22 )2(23qqq 2 1 q 此时 ，1 1 c 4 9 , 2 3 32 cc 所以是一个公比为的等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 321 ,ccc 2 3 如果，为等比数列，那么一定是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4m m ccc, 21 321 ,ccc 由上所述，此时， 由于， 2 1 q1 1 c 4 9 , 2 3 32 cc 8 23 4 c 2 3 3 4 c c 因此，对于任意，一定不是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4m m cccc, 321 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3m 2 1 q m cccc, 321 设和分别为第列和第列的前三项， 321 ,xxx 321 ,yyy1k1m ，11nmk 则，qkxx 21 , 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 )321 (qkqkx 2 2 ) 1( qkq kk 若第列的前三项是等比数列，则由，得1k 321 ,xxx 2 231 xxx ， 22 2 ) 1( qkqkq kk ， 0 2 2 kq kk 2 1k q 同理，若第列的前三项是等比数列，则 1m 321 ,yyy 2 1m q 当时， 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所以，无论怎样的 ，都不能同时找到两列数 （除第 1mk 2 1 2 1mk q 列外） ，使它们的前三项都成等比数列 例 3. 在等差数列中，前项和满足条件， n a 1 1a n n S 2 42 ,1,2, 1 n n Sn n Sn （1）求数列的通项公式； n a （2）记，求数列的前项和。(0) n a nn ba pp n bn n T 2 12 42 1,1,2,21,. 1 n n n Sn anadan Sn (1)解：，又， 例 4. 已知数列满足 n a * 1221 1,3,32(). nnn aaaaa nN （1）证明：数列是等比数列； 1nn aa （2）求数列的通项公式； n a （3）若数列满足证明是等差数列。 n b 12 111* 44.4(1) (), nn bbbb n anN n b 所以数列是等 * 21211 132().2() nnnnnnn aaa nNaaaa 解（） 1nn aa 比数列。 例 5. 设无穷等差数列的前 n 项和为. n a n S （1）若首项，公差，求满足的正整数 k； 1 a 3 2 1 d 2 )( 2k k SS （2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数 k 都有成立. n a 2 )( 2k k SS 解：解：（1）当 a1，d1 时， 2 3 Snna1n2nd nn 2 ) 1( 2 1 由得k4k2（k2k）2 2 )( 2 k k SS 2 1 2 1 解得 k4 （2）设数列an的公差为 d，则在中，分别取 k1， 2得： 2 )( 2 k k SS 2 24 2 11 )( )( SS SS 解得 a10 或 a11 当 a10 时，d0 或 d6 若 a10，d0，则 an0，Sn0，从而成立 2 )( 2 k k SS 若 a10，d6，由于（S3）2S9，故不符合题意 当 a11 时，d0 或 d2 若 a11，d0，则 an1，Snn，从而成立 2 )( 2 k k SS 若 a11，d2 则 an2n1，Snn2，从而成立 2 )( 2 k k SS 综上所述，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： an：an0 an：an1 an：an2n1 例 6. 设等差数列an的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn. （1）若 a11=0，S14=98，求数列an的通项公式； （2）若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式. 解：解：（1）由 S14=98 得 2a1+13d=14， 又 a11=a1+10d=0， 故解得 d=2，a1=20. 因此，an的通项公式是 an=222n，n=1，2，3 （2）由得 即 6a , 0a ,77S 1 11 14 6a , 0d10a ,11d13a2 1 1 1 12a2 , 0d20a2 ,11d13a2 1 1 1 由+得7d11，即 d。由+得 13d1，即 d 7 11 13 1 于是d又 dZ，故 d=1。将代入得 10a112. 7 11 13 1 又 a1Z，故 a1=11 或 a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n，n=1，2，3， 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分钟） （一）选择题 1. 已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 A. 5B. 4 C. 3D. 2 2. 设，则等于 4710310 ( )22222() n f nnN ( )f n A. B. C. D. 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n 3. 已知等差数列和等比数列各项都是正数，且，那么，一定 n a n b 112121 , nn ab ab 有 A. C. 1111 . nnnn abB ab 1111 . nnnn abD ab （二）填空题 4. 数列中， ，则 。 n a 1 2,a 1 2, 2,2 n n n a akZ ank n=2k+1 k0 5 a 5. 等差数列中，公差不为零，且恰为某等比数列的前 3 项，那么 n a 1 2a 1311 ,a a a 该等比数列的公比等于 。 6. 是等差数列的前 n 项和，若，则 m = n S n a0 n a 2 11 0, mmm aaa 21 38 m S 。 7. 在等比数列an中，S41，S83，则 a17a18a19a20的值是_。 8. 在数列an中，若 a1=1，an+1=2an+3 （n1） ，则该数列的通项 an=_. 9. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则( )f xab、()( ) ( )f abf a f b(1)2f 。 (2)(5)(9)(14)(1274) (1)(3)(6)(10)(1225) fffff fffff （三）解答题 10. 若数列满足前 n 项之和，求： n a22),(42 11 * bbabNnaS nnnnn 且 （1）bn （2）的前 n 项和 Tn。 n b 11. 下表给出一个“等差数阵” 47（ ）（ ）（ ） a1j 712（ ）（ ）（ ） a2j （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） a3j （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） a4j ai1ai2ai3ai4ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数 （1）写出 a45的值 （2）写出 aij的计算公式 （3）证明正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N1 可以写成两个不是 1 的正整 数之积。 12. 数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，an1Sn，n1，2，3 3 1 求：（1）a2、a3、a4的值及an的通项公式； （2）a2a4a6a2n的值. 13. （2020 年福建）已知an是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、a2成等差数列 （1）求 q 的值. （2）设bn是以 2 为首项，以 q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n2 时， 比较 Sn与 bn的大小，并说明理由 试题答案试题答案 1. C2. D3. B4. 205. 46. 107. 168. 2n+1-39. 250-2 10. 解：（1）当 n=1 时，= 1 a4a4a2S 111 当时， 即2n 4a24a2SSa 1nn1nnn 1nn a2a 2 a a 1n n 1n n 2a n 1n 1n b22b 1 2 b 2 b n n 1n 1n 又 （）1 2 b 1 1 n11n1 2 b n n )( n n 2nb * Nn （2） n2 n 2n2221T 1nn2 n 2n21n21T2 )( 两式相减得 （）221nT 1n n )( * Nn 11. 解：（1）a41a11（41）313 a42a12（41）522 a45a41（51）949 （2）ai1a11（i1）33i1 ai2a12（i1）55i2