高考数学复习学案（第7讲）：函数的单调性

高考数学复习学案7：函数的单调性高考要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。会用函数单调性解决一些问题知识点归纳：函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制1函数单调性的定义：2.证明函数单调性的一般方法: 定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则在A内为增函数；在A内为减函数。3.求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。4.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数；若f与g的单调性相反，则为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。5一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 函数在上单调递增；在上是单调递减。题型讲解：例1若y=log(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：使log(2-ax)有意义，即a0且a1，2-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的减函数由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0时为减函数，所以必须a1；0，1必须是y=log(2-ax)定义域的子集解法一：因为f(x)在0，1上是x的减函数，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由对数概念显然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是减函数，y= logu应为增函数，得a1，排除A，C，再令a=3,则的定义域为，但0，1不是该区间的子集。故排除D，选B.说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确例2（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2）， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为例3设，是上的偶函数（1）求的值；（2）证明在上为增函数解：（1）依题意，对一切，有，即对一切成立，则，（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数（导数法），在上为增函数例4（1）若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为_解：由得或为奇函数，在上是减函数， 由；由的解集为.例5已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式解：（1）令，得，令，得，是偶函数（2）设，则，即，在上是增函数（3），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，解得：，即不等式的解集为例6函数在上是增函数，求的取值范围分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：对任意的总有；当时，恒成立解：函数在上是增函数，对任意的有，即，得，即， ，要使恒成立，只要；又函数在上是增函数，即，综上的取值范围为另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上是增函数，且在上恒成立，得学生练习 1判断函数f(x)=ax/(x2-1) (a0)在区间(-1,1)上的单调性。2已知函数f(x)=a(ax-a-x)/(a-2) (a0,且a1)是R上的增函数，求a的取值范围。3设函数f(x)= (a0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数。4函数y=的递减区间是 5求y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间及单调性6求y=8+2log0.5x -log0.52x的单调区间及单调性.7函数y=lncos(x/3+p/4)的递减区间是 8函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是 9已知奇函数f(x)在定义域-2,2上递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)0,a1,有f(logax)=(1)求f(x)的表达式，并证明f(x)在(-,+)上是增函数；(2)求证：对于任意大于1的自然数n,f(n)n成立。11.写出函数f(x)=log0.5|x2-x-12|的单调区间12比较下面三个数的大小：, , 13设奇函数f(x)在0,+）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)0,且q1,数列an是首项和公比都为q的等比数列，设bn=anlog5an (nN),(1)当q=5时，求数列bn的前n项和Sn；(2) 在(1)的条件下，求;(3)在数列bn中，对于任意自然数n，当mn时，都有bmbn,求q的取值范围。15甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元。(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？16.函数f(x)=log0.5|sinx-cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是 。参考答案：1 a0,f(x)递减；a0,f(x)递增2 a(0,1)(2,+)3 a1时，f(x)递减； 0a1时，存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。4（(-,-3)5在(-,1)上递增；在(2,+)上递减 6在(0,1/2上递增；在1/2,+)上递减 7 6kp-3p/4,6kp+3p/4 kZ8 (1,2) 9 -1mnf(n)+1n+1,证明f(n+1)f(n)+1n+11