高中数学 专题八思想方法函数与方程思想教师用（通用）

2020届高三二轮专题复习之八数学思想方法（函数与方程思想）一、知点透析（1）函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.（2）方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.（3）函数的思想与方程的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程.通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要.二、初露锋芒1、方程的解_.22、若且，则的最小值是( A )A B3 C2 D3、设数列an是等差数列，Sn是其前n项和，且满足a10，S120，S130，则使Sn最大的n的值为( B )A1 B6 C7 D124、对任意a-1,1，函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值总大于零，则x的取值范围是（ B ）A1x3 Bx1或x3 C1x2 Dx1或x2三、例题精讲问题1 构造函数解决方程问题例1 （1）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是_；（2）若关于的方程有大于1的解，则实数的取值范围是_.例2 设，试比较的大小.【解析】：构造函数3x+1在R上递增，在R上递减 在R上递减 f(33)f(34)，即ab问题2 构造方程解决有关问题例3 已知函数 （1）若的定义域为，判断在定义域上的单调性，并加以说明；（2）当时，使的值域为的定义域区间为是否存在？请说明理由 【解析】 （1）x3或x3 f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数 （2）若f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)0m1, f(x)为减函数 即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的定义域区间,存在 问题3 函数与方程思想在实际问题中的应用例4 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （1）试写出关于的函数关系式； （2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】 （1）设需要新建个桥墩，所以 （2） 由（1）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。问题4 函数与方程思想的综合运用例5 已知函数（1）求在区间上的最大值（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点.当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为四、临阵磨枪1、已知，（），则有（ B ）.A. B. C. D.2、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则( C )A1 B C D3、设定义域为的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ C ）A且 B且C且 D且4、关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（ A ）A0 B1 C2 D35、已知为常数，若则 2 .6、若关于的方程2= 0有实数解，则实数的取值范围是 .7、已知是方程的两个根，且，则的取值范围是 8、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点 已知函数.（1）若时，求的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A、B关于直线对称，求的最小值【解析】 （1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3 故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3 （2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两相异实根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1 （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x