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2020年数学原创试题（10）精析“柯西不等式”定理及推论定理1：（二维形式的柯西不等式）设a，b，c，d均为实数，当且仅当ad=bc时，等号成立。变形公式：（1），（2） 说明：变式（1）当且仅当ad=bc时等号成立；变式（2）当且仅当时等号成立。定理2：（一般形式的柯西不等式）：设，是实数，则，当且仅当（i=1，2，n）或存在一个数k，使得（i=1，2，n）时，等号成立。例1、已知x，y，a，b均为正数，且，求x+y的最小值。分析：要想利用柯西不等式求x+y的最小值，首先应想到化为两个两项式的积，于是变形后，利用公式就能得到答案。解：因为x，y，a，b均为正数，且，所以根据柯西不等式得，当且仅当，即时取等号，所以x+y的最小值为 点评：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它可以使一些较困难的问题迎刃而解，中学阶段常用柯西不等式处理证明不等式、求解最值和解决三角形问题。例2、设，且a+b+c=1，则的最小值为_.分析：本题中都是a，b，c的二次方，欲产生最值，首先可以考虑如何将二次方降幂；其次在运用柯西不等式时，可根据实际需要，将常数拆分。解：由于=1（）=，又（当a=b=c=时取等号），故，即所求最小值为例3、等腰直角三角形AOB的直角边长为1（如图），在此三角形中任意取一点P，过P点分别引三边的平行线。各边所围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置。分析：本题是应用问题，解决它的关键是依据题目给出的数量关系，列出关于“这三个三角形的面积和”的目标函数，进而应用柯西不等式进行求解。解：分别取OA，OB为x轴、y轴，则AB所在的直线方程为x+y=1，记P点的坐标为，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和为S，则，所以，由柯西不等式，得，所以2S3=6S，即，当且仅当时，等号成立，即当时，面积S最小，且最小值为点评：依据式子“”的特征，构造出数组：，是使用柯西不等式的关键。例4、若x，y，z为实数，且，求
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