2014年湖南省高考数学试卷（文科）

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设命题p：xR，x2+10，则p为（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+102（5分）已知集合A=x|x2，B=x|1x3，则AB=（）Ax|x2Bx|x1Cx|2x3Dx|1x33（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P34（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x5（5分）在区间2，3上随机选取一个数X，则X1的概率为（）ABCD6（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y26x8y+m=0外切，则m=（）A21B19C9D117（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，68（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D49（5分）若0x1x21，则（）Alnx2lnx1Blnx2lnx1Cx2x1Dx2x110（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足|=1，则|+|的取值范围是（）A4，6B1，+1C2，2D1，+1二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于 12（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为 13（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 14（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=1的距离相等，若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 15（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a= 三、解答题（共6小题，75分）16（12分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=+（1）nan，求数列bn的前2n项和17（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率18（12分）如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A、B两点在棱MN上，BAD=60，E是AB的中点，DO面，垂足为O（）证明：AB平面ODE；（）求异面直线BC与OD所成角的余弦值19（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长20（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：=1（a10，b10）和椭圆C2：+=1（a2b20）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=|？证明你的结论21（13分）已知函数f（x）=xcosxsinx+1（x0）（）求f（x）的单调区间；（）记xi为f（x）的从小到大的第i（iN*）个零点，证明：对一切nN*，有+2014年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设命题p：xR，x2+10，则p为（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+10【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解命题p：xR，x2+10，是一个特称命题p：x0R，x02+10故选：B【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键2（5分）已知集合A=x|x2，B=x|1x3，则AB=（）Ax|x2Bx|x1Cx|2x3Dx|1x3【分析】直接利用交集运算求得答案【解答】解：A=x|x2，B=x|1x3，AB=x|x2x|1x3=x|2x3故选：C【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题3（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础4（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（，0）上单调递增，得到本题结论【解答】解：选项A，f（x）=f（x），f（x）是偶函数，图象关于y轴对称f（x）=x2，20，f（x）在（0，+）单调递减，根据对称性知，f（x）在区间（，0）上单调递增； 适合题意选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+）上单调递增，在区间（，0）上单调递减，不合题意选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意选项D，f（x）=2x在（，+）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题5（5分）在区间2，3上随机选取一个数X，则X1的概率为（）ABCD【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论【解答】解：在区间2，3上随机选取一个数X，则2X3，则X1的概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础6（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y26x8y+m=0外切，则m=（）A21B19C9D11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y26x8y+m=0，得（x3）2+（y4）2=25m，圆心C2（3，4），半径为圆C1与圆C2外切，解得：m=9故选：C【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，6【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：若0t2，则不满足条件输出S=t33，1，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+1（1，9，此时不满足条件，输出S=t3（2，6，综上：S=t33，6，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础8（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8r+6r=，r=2故选：B【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题9（5分）若0x1x21，则（）Alnx2lnx1Blnx2lnx1Cx2x1Dx2x1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=ex+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0x1x21得答案【解答】解：令f（x）=exlnx，则f（x）=，当x趋近于0时，xex10，当x=1时，xex10，因此在（0，1）上必然存在f（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，当0x1时，g（x）0g（x）在（0，1）上为减函数，0x1x21，即选项C正确而D不正确故选：C【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题10（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足|=1，则|+|的取值范围是（）A4，6B1，+1C2，2D1，+1【分析】由于动点D满足|=1，C（3，0），可设D（3+cos，sin）（0，2）再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：动点D满足|=1，C（3，0），可设D（3+cos，sin）（0，2）又A（1，0），B（0，），+=|+|=，（其中sin=，cos=）1sin（+）1，=sin（+）=，|+|的取值范围是或|+|=|+|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|+|的取值范围是故选：D【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于3【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求【解答】解：=复数（i为虚数单位）的实部等于3故答案为：3【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题12（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为xy1=0【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程【解答】解：曲线C：（t为参数），两式相减可得xy1=0故答案为：xy1=0【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化13（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=23+1=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键14（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=1的距离相等，若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k1或k1【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，=（2k24）24k40，k1或k1故答案为：k1或k1【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题15（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e3x+1）ax，即2ax=ln（e3x+1）ln（e3x+1）=ln=ln=lne3x=3x，即2a=3，解得a=，故答案为：，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（x）=f（x）是解决本题的关键三、解答题（共6小题，75分）16（12分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=+（1）nan，求数列bn的前2n项和【分析】（）利用公式法即可求得；（）利用数列分组求和即可得出结论【解答】解：（）当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=snsn1=n，数列an的通项公式是an=n（）由（）知，bn=2n+（1）nn，记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+22n）+（1+23+4+2n）=+n=22n+1+n2数列bn的前2n项和为22n+1+n2【点评】本题主要考查数列通项公式的求法公式法及数列求和的方法分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题17（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率【分析】（）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可（）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决【解答】解：（）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，=乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，=因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平（）记E=恰有一组研发成功，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力18（12分）如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A、B两点在棱MN上，BAD=60，E是AB的中点，DO面，垂足为O（）证明：AB平面ODE；（）求异面直线BC与OD所成角的余弦值【分析】（）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（）根据异面直线的定义，找出所成的角为ADO，说明DEO是二面角MN的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cosADO【解答】（1）证明：如图DO面，AB，DOAB，连接BD，由题设知，ABD是正三角形，又E是AB的中点，DEAB，又DODE=D，AB平面ODE；（）解：BCAD，BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角，由（）知，AB平面ODE，ABOE，又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO=60，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在RtDOE中，DO=DEsin60=，连AO，在RtAOD中，cosADO=，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题19（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长【分析】（）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论【解答】解：（）设=CED，在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD6=0，解得CD=2或CD=3，（舍去），在CDE中，由正弦定理得，则sin=，即sinCED=（）由题设知0，由（）知cos=，而AEB=，cosAEB=cos（）=coscos+sinsin=，在RtEAB中，cosAEB=，故BE=【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大20（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：=1（a10，b10）和椭圆C2：+=1（a2b20）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=|？证明你的结论【分析】（）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程再由椭圆的定义求得a2=，可得=的值，从而求得椭圆C2的方程（）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y1y2 =由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式=0，求得2k2=m23，可得0，可得|+|综合（1）、（2）可得结论【解答】解：（）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，a1=1，c2=1由于点P（，1）在上，=1，=3，双曲线C1的方程为：x2=1再由椭圆的定义可得 2a2=+=2，a2=，=2，椭圆C2的方程为：+=1（）不存在满足条件的直线l（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=当x=时，可得 A（，）、B（，），求得|=2，|=2，显然，|+|同理，当x=时，也有|+|（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得