高中数学 直线与圆锥曲线解析 北师大版选修2－1

直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.一轨迹方程（定义法与直接法）例1求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。 解：设M（x，y），过M作于A，又过M作轴于O，因为点M为短轴端点，则O必为椭圆中心，化简得y2=2x，短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x0）。 例2已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,将m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1 二直线与圆锥曲线的位置关系1 位置关系的判定例3已知双曲线C 2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点 (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在 解 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点 当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点 当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点 综上知 当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点 (2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在 参数方程例4 已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（）求椭圆方程；（）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。解：（） （）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2 又设A 由 得 点M坐标为M（0，2） 由代入、得 由、 得 线段AB所在直线的方程为：。例5 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（方法一 求交点坐标方法二数形结合及放缩法）（）求四边形的面积的最小值 （分别采用直线的点斜式与参数方程两种方法）方法点评 交点联立方程 弦长公式（韦达定理）练习 设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;(1,-2)（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.或 练习：过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|FQ|的值为_3. 韦达定理例6已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 解：（1）为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即故所求k=.注：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.练习 一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程。 解： 椭圆离心率为，所以椭圆方程为，设方程为：，由消去得 （1）（2） 所以而所以 所以（3）又， 从而（4）由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为 4 中点与对称例7已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上. （）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（） 由已知得 故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 . 练习：在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a,使抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.（1）设=（u,v）,则由，即,得,或.因为=（u+4,v-3）,所以v-30,得v=8,故=（6，8）.(2)由=（10，5），得B（10，5），于是直线OB方程：y=x.由条件可知圆的标准方程为：（x-3）2+(y+1)2=10,得圆心（3，-1），半径为.设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x, y),则,得,故所求圆的方程为（x-1）2+(y-3)2=10.(3)设P（x1，y1）, Q (x2, y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点，则,得.即x1、x2为方程x2+x+=0的两个相异实根，于是由=0,得a.故当a时，抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点.5 最值例8 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积 知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中5m0 由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 点A到直线l的距离为d= S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0m5 由方程组,消去x,得y 24 y 4m=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S= 4=4S8,当且仅当即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 6. 取值范围与判别式例9已知椭圆的一个顶点为A(，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy2 的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线ykxm（k）相交于不同的两点M、N，当AMAN时，求M的取值范围.解 (1)（待定系数法）椭圆方程为1（2）设P为 弦MN的中点，由消去y得(3k21)x26mkx3（m21）由得m23k21 xP， yPkxPm,kAP，由MNAP得，2m3k21 将代入得2mm2，m2由得k2，得mm的取值范围是（，2）练习 圆锥曲线C经过定点(3，2)，它的一个焦点为F(1，0)，对应的准线为x=-1,过F任意作C的弦AB若弦AB的长不超过8，且直线AB与椭圆3x22y22相交于不同的两点，求AB的倾斜角的取值范围解:PF4，而P到x=-1的距离d=4,故O 是抛物线，方程为y24x设直线AB的方程为y=k(x-1).消x，得ky2-4y-4k=0AB，消y得(2k23)x24k2x2（k21） 16k48（2k23）（k21）248k2依题意,1k1tan，或7 综合例10如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标； (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围. 错解分析：第三问在表达出“k= y0”时，忽略了“k=0”的情况，理不清题目中变量的关系. 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围. 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3. 故椭圆方程为 . (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=,因为椭圆右准线方程为x= ,离心率为，根据椭圆定义，有|F2 A|=(x1),|F2C|=(x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 (x1)+ (x2)=2,由此得出：x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4. (3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. 得, 得9(x12x22)+25(y12y22)=0, 即9x0+25y0k=0(x1x2) 将x0=4(k0)代入上式，得94+25y0k=0(k0) 即k=y0(当k=0时也成立). 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0 y0= y0. 由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得 y0 ,所以 m . 解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为 yy0= (x4)(k0) 将代入椭圆方程 =1,得 (9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0 所以x1+x2= =8,解得k= y0.(当k=0时也成立) (以下同解法一). 8 应用例11 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，试说明怎样运土最省工分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有MA+PA=MB+PB于是MAMB=PBPA=150100=50从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则MA+PA=MB+PB，MAMB=PBPA=50在PAB中，由余弦定理得AB2=PA2+PB22PAPBcos60=17500，且50AB由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为=1（a0，b0） 2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，解之得a2=625，b2=3750M点轨迹是=1（x25）在半圆内的一段双曲线弧于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域（2）应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果练习1某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是 A4 m B384 m C148 m D292 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），由题意知其过定点（10，4），代入x2=2py，得p=x2=25y当x0=2时，y0=，最长支柱长为4|y0|=4=384（m）答案：B练习2 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0y20）在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为_解析：玻璃球的轴截面的方程为x2+（yr）2=r2由x2=2y，x2+（yr）2=r2，得y2+2（1r）y=0，由=4（1r）2=0，得r=1答案：0r1练习3 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距 _ m时，小船不能通航解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0）将点（4，5）代入求得p=x2=y将点（2，y1）代入方程求得y1=+|y1|=+=2（m）答案：2巩固练习 1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(C )A 2B C D 2 正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_ 3.直线y=x+3与曲线-的交点个数是( ).1 .2 .3 .4 C4.抛物线y2=2px (p0)与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M，双曲线的两焦点为F1、F2，且MF1MF2=,求抛物线的方程.解:由题意，假设点M在第一象限.由双曲线x2-y2=1得a=1,b=1,c=.由于点M在双曲线上，则由双曲线定义MF1-MF2=2.因 (MF1+MF2)2= (MF1-MF2)2 + 4(MF1MF2)=22+4=9,故MF1+MF2=3.由椭圆定义知，点M在以F1，F2为焦点的椭圆上.设椭圆方程为=1,其中a=,c=, b=.得方程4x2+36y2=9.由得双曲线与椭圆的交点M().因点M在抛物线上，将坐标代入方程得=2p,即p=，则所求抛物线方程为y2=x.5.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是8xy15=0. 6.已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p. (1)求a的取值范围. (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值 7.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e= 的双曲线过点P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论. 8.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 9.已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O（0，1），半径r=3。设正方形的边长为p，则，又O是正方形ABCD的中心，O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 （1）设AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，a2=12，b2=4，椭圆的方程为。 （2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得，此时b2a2（舍去）。综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程； （）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 (高考题回放天津理22设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点O到直线的距离为（）证明；（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程 （）证法一：由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得，于是，由式得由知将式和式代入得，将代入上式，整理得当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，由知，即，解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为记（显然），点的坐标满足方程组 由式得由式得 将式代入式得整理得，于是由式得 由式得将式代入式得，整理得，于是由知将式和式代入得，将代入上式，得所以，点的轨迹方程为上海理21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。21解（1）F0（c，0）F1（0，），F2（0，）| F0F1 |，| F1F2 |于是，所求“果圆”方程为（x0），（x0）4分（2）由题意，得ac2b，即（2b）2b2c2，a2b2（2ba）2，得7分又b2c2a2b2，（3）设“果圆”的方程为（x0）（x0）记平行弦的斜率为k当k0时，直线yt（btb）与半椭圆（x0）的交点是，与半椭圆（x0）的交点是Q（）P、Q的中点M（x，y）满足得a2b，综上所述，当k0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆14分当k0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆（x0）的交点是由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上17分当k0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上18分答案：（1）（x0），（x0）（2）（3）综上所述，当k0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆宁夏理19在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由答案：（）（）故没有符合题意的常数19解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，