高中数学 数列题型讲义 新人教A版必修5

数列题型讲义题型一：由数列的递推公式求通项1、根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2； (2)a11，anan1(n2)； (3)已知数列an满足an1an3n2，且a12，求an.解(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112， an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.方法归纳： 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解2、 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)； (2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an2an33n3， a2a131，以上(n1)个式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)个式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.题型二：数列性质的应用3、 已知数列an的前n项和Snn224n(nN*)(1)求an的通项公式； (2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解(1)n1时，a1S123. n2时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证，a123符合an2n25，an2n25(nN*)(2)法一Snn224n，n12时，Sn最大且Sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故S12最大，最大值为144.方法归纳： (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法题型等差数列的判定或证明4、已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列； (2)求an的表达式 (1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式，an方法归纳： 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断题型三：等差数列前n项和的最值5、在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二同法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法归纳： 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值题型四：等差数列性质的应用6、设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.解由题意可知a1a2a636 anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 方法归纳： 本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程题型五：等比数列的判定或证明7、已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求an的通项公式(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1. 当n1时，111a1，ann1(nN*)方法归纳： 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可题型六：等比数列的性质及应用8、已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和解Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6.当S2n4时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为3的等比数列，则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n项的和为S6nS3n36414378.当S2n6时，同理可得再后3n项的和为S6nS3n12614112.故所求的和为378或112.方法归纳： 本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，若把数列an平均分成若干组，其积也为等比数列题型七：公式法求和9、已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值； (2)求Tna2a4a6a2n的值解(1)由题意得2a54a12a3. an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1. (2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，Tnna24n.方法归纳： 用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式题型八：分组转化求和10、已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值； (2)数列xn前n项和Sn的公式解 (1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.方法归纳： 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和题型九：裂项相消法求和11、在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式； (2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.方法归纳： 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的题型十：错位相减法求和12、已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式； (2)求数列的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，Sn.记Tn1， 则Tn， 得：Tn1，Tn.