高中数学2.4.2 抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质要点精讲1.抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离2. 抛物线的离心率e=1.典型题解析【例1】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标，准线方程【分析】【解】【点评】【例2】顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x 1所得的弦长AB，求抛物线的方程【分析】【解】【点评】【例3】定长为5的线段AB的两个端点在抛物线 y24x上移动，试求线段AB的中点M到y轴的最短距离【解】【点评】【例4】已知抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点的弦，被焦点分成长度是m、n的两部分，求证【解析】【例5】过抛物线y22px(p0)的顶点作两条互相垂直的弦OA与OB，求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标【解析】【点评】【例6】已知抛物线y2=4ax(a0)的焦点为A，以B（a4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点（1）求a的取值范围；（2）求|AM|AN|的值；（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？【解】(1) 设M (x1，y1 )，N (x2，y2)，P (x0，y0 ) 则 x（a 4）2 y2 = 16 ( y0) 用y2 = 4ax (a0) 代入得x2 2 (a4)x 8a a2 = 0 由= ( a4)2 (8a a2) 0得：0 a 2|AP|，不存在实数a，使AM|,|AP|,|AN|成等差数列【点评】（1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程【例7】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（），B（）均在抛物线上（I）写出该抛物线的方程及其准线方程（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率 【分析】本题的条件主要有两个：一是A、B两点在抛物线上；二是直线PA与PB的倾斜角互补由于所求的是yly2的值及的值，因此考虑将条件向与结论相关的方向去变 .由点A、B在抛物线上，可知其坐标满足方程，也可将A、B看作是直线PA与PB与抛物线的交点即从方程组人手直线PA与PB的倾斜角互补，因此，其斜率互为相反数这样运用斜率公式即可其坐标化，得到与yl、y2有关的结论；也可利用待定系数法，用一个参数写出PA与P的方程，再用方程组来处理 【解】 ( I)当时，, 又抛物线的准线方程为 由抛物线定义得，所求距离为 （2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 由， 相减得 故 , 同理可得 由PA，PB倾斜角互补知 , 即 所以 , 故 设直线AB的斜率为 , 由， , 相减得 所以 , 将代入得 ，所以是非零常数 规律总结1抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化（常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离）2抛物线