高中数学一轮复习 第3讲 直接证明与间接证明

第3讲 直接证明与间接证明随堂演练巩固1.证明命题:”f(x)=e在上是增函数”,某同学给出的证明如下: f(x)=ef(x)=e. 又x0,e.e. 也就是f(x)0. 函数f(x)在上是增函数,这位同学所使用的证明方法是( ) A.综合法B.分析法 C.反证法D.以上都不是 【答案】 A 2.分析法又叫执果索因,若使用分析法证明,设abc,且a+b+c=0,求证:.索的因应是( ) A.a-b0B.a-c0 C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)bc,且a+b+c=0, a0,即证成立. 也就是成立. 整理可得(a-c)(2a+c)0, 又a+c=-b,即证(a-c)(a-b)0. 由于abc,a-b0且a-c0. 也就是不等式(a-c)(a-b)0显然成立. 故若用分析法证本题,索的因应是C项. 3.用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容是 . 【答案】 【解析】 “如果ab,那么”若用反证法证明,其假设为. 4.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在ABC中,若AB=AC,P是ABC内一点求证:.用反证法证明时应分:假设 和 两类. 【答案】 课后作业夯基基础巩固 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.等价条件 【答案】 A 2.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( ) A.综合法B.分析法 C.反证法D.归纳法 【答案】 B 3.命题“对于任意角cossincos”的证明如下:“sinsincos2.”该过程应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 【答案】 B 【解析】 因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论. 4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于60 【答案】 B 【解析】 命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60”,它的反设应是“三角形的内角都大于60”. 5.要证:只要证明( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为. 6.设则( ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 【答案】 C 【解析】 因为所以三者不能都大于-2. 7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第一象限的部分上,则loglog的最大值是( ) A.-1B.1C.-2D.2 【答案】 B 【解析】 由已知得a+2b=4,且0a4,0b0时,ba;aba 【解析】 要使该不等式成立,则成立. 也就是 即证整理得ab(a-b)0. 只要ab与a-b同号,上述不等式便成立. 9.用反证法证明“不可能成等差数列”时,正确的假设是 . 【答案】 假设成等差数列 10.设a、b、c、d是正数,求证:下列三个不等式 a+bc+d, (a+b)(c+d)ab+cd, (a+b)cd0,所以4cd(a+b)(c+d). 结合式,得4cdab+cd, 所以3cdab,即. 由式得 故显然不成立. 所以不等式中至少有一个不正确. 11.已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:. 【证明】 要证原等式成立,只需证 即 即只需证而A+C=2B, B=60. . .从而原等式得证. 拓展延伸12.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (1)若平面平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值; (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线. 【解】(1)取CD的中点G,连接MG,NG. 设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 则. 因为平面平面DCEF, 所以平面DCEF. 可得是MN与平面DCEF所成的角. 因为所以sin即MN与平面DCEF所成角的正弦值为. (2)证明:假设直线ME与BN共面, 则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知,两正方形不共面,故平面DCEF. 又A