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导数的应用典型例题分析：一、已知函数为自然对数的底数.（）讨论函数的单调性；（）求函数在区间0，1上的最大值.解：（）（i）当a=0时，令 若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a0, 当（1,+）时,1时,方程f(x)= 0,在e-m ,e2-m 内有两个实根.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且当x(-m,1-m)时,f （x）f(1-m)当x(1-m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x(-m, +)都有f(x)f(1-m)=1-m故当整数m1时，f(x) 1-m0(II)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。O-xAy四、如图，在中，（，）（，）且 （）求的顶点的轨迹c的方程（）设（）为曲线c上一点，求以为切点的曲线c的 切线的方程（写出求解过程）.（）设（x,），（x-1,）分别为c与上的点，求向量 在向量上的投影的最小值解：（）由正弦定理得：，所以所求轨迹为以点，为焦点的上半支双曲线（除顶点外），方程为（），切线，（），在上的投影为，令，时，代人得不在曲线C上，故舍去，所以补充作业：1.当时，证明不等式： 证明：令，为减函数，而，即 令，为增函数，而，则有，原命题得证。2. 已知i，m，n是正整数，且，证明：证明：且i，m，n为正整数, 设则 由知，,f(x)是减函数 又,即 3 已知函数. （1）求函数的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 4（选做）已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函数f(x)的最大值；（）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. （）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （）证法一： 由（）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二
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