2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.1.1 任意角导学案 新人教A版必修4

11.1任意角教材研读预习课本p25，思考以下问题1角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？可分为哪几类？2象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？3终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要点梳理1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的表示如图，oa是角的始边，ob是角的终边，o是角的顶点角可记为“角”或“”或简记为“”(3)角的分类(按旋转方向分)名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2.象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)130是第四象限角()2钝角是第二象限的角()3终边相同的角一定相等答案1.2.3.思考：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角下列命题正确的是()a终边与始边重合的角是零角b终边和始边都相同的两个角一定相等c在90180范围内的角不一定是钝角d小于90的角是锐角思路导引对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小解析终边与始边重合的角还可能是360，720，故a错；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，故b错；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，c正确；小于90的角可以是0，也可以是负角，故d错误答案c理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可【温馨提示】角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：(1)旋转的方向；(2)旋转角的大小；(3)射线未作任何旋转时的位置跟踪训练如图，射线oa绕端点o旋转90到射线ob的位置，接着再旋转30到oc的位置，则aoc的度数为 _.解析aocaobboc90(30)60，aoc的度数为60.答案60题型二终边相同的角与象限角思考1：终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？提示：不一定相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍可以用集合|k360，kz表示思考2：若为第一象限角，则的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若为第一象限角，则的顶点为坐标原点、始边与x轴的非负半轴重合，终边处在第一象限已知角2018.(1)把改写成k360(kz,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.思路导引解题关键是理解与角终边相同的角的表示形式解(1)由2018除以360，得商为5，余数为218.取k5，218，5360218.又218是第三象限角，为第三象限角(2)与2018终边相同的角为k3602018(kz)令360k3602018720(kz)，解得6k3(kz)所以k6，5，4.将k的值代入k3602018中，得角的值为142，218，578.(1)把任意角化为k360(kz且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)也可用竖式除法(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值跟踪训练在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角思考：我们知道120为第二象限角，60为第一象限角，由此推断若为第二象限角，则为第一象限角，是否正确？提示：不一定要确定的终边落到第几象限若是第二象限角，则是第几象限的角？思路导引已知角是第几象限角，判断所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边位置解是第二象限角，90k360180k360(kz)，45k18090k180(kz)解法一：当k2n(nz)时，45n36090n360(nz)，即是第一象限角；当k2n1(nz)时，225n360270n360(nz)，即是第三象限角故是第一或第三象限角解法二：45k180表示终边为一、三象限角平分线的角，90k180(kz)表示终边为y轴的角，45k18090k180(kz)表示如图中阴影部分图形即是第一或第三象限角所在象限的判断方法已知角所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2，被n除余n1.从而得出结论(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出跟踪训练已知是第一象限角，则角的终边可能落在_(填写所有正确的序号)第一象限第二象限第三象限第四象限解析是第一象限角，k360k36090，kz，36036030.当k3m，mz时，m360m36030，角的终边落在第一象限当k3m1，mz时，m360120m360150，角的终边落在第二象限当k3m2，mz时，m360240m360270，角的终边落在第三象限，故选.答案课堂归纳小结1本节课的重点是象限角及终边相同的角，难点是所在象限的判断2本节课重点掌握的规律方法(1)任意角的概念，见典例1.(2)终边相同的角与象限角，见典例2.(3)(n*)所在象限的判定方法，见典例3.3本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角(2)把任意角化为k360(kz，且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可以用除法(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0360内符合条件的角的范围，最后都加上k360，得到所求1下列说法正确的是()a三角形的内角一定是第一、二象限角b钝角不一定是第二象限角c终边与始边重合的角是零角d钟表的时针旋转而成的角是负角解析a错，若一内角为90，则不属于任何象限；b错，钝角一定是第二象限角；c错，若角的终边作了旋转，则不是零角；d对答案d2361的终边落在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析因为3611360，则361与1的角终边相同，1为第四象限角，则361为第四象限角答案d3已知为第三象限角，则所在的象限是()a第一或第二象限b第二或第三象限c第一或第三象限d第二或第四象限解析由于k360180k360270，kz，得36090360135.当k为