高中数学教学论文 排列组合常见解题错误剖析

排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有类方法，这类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_种.（注：所选高考题为理科题，以下同）【错解】有46575种.【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）种；第二类，有4件次品的抽法同理有种，最后由加法原理，不同的抽法共有+4186种.【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（）（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种【错解】有300种选法.【错因】同例1.【正解】（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有70种选法.所以选C . 2“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）【错解】有140种选法，答A .【错因】元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040 【错解一】分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有5040种，选D.【错因】“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即应为.【错解二】分三步完成，不同的选法共有1260种，选A.【错因】剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即应为.【正解一】不同的选法有2520种.【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有2520种.【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.【错解】有=4 种.【错因】3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.【正解】有24（或=24）种植方法.3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）【错解】从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有=140种选法.所以选A.【错因】若从甲型机中选出的是机和机，依错解会出现先取机后取机和先取机后取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.【正解一】（注意到错解正好多算一倍）.【正解二】有=70种选法,所以选C.【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有_种.【错解一】从4只盒子中取出三只，有种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有种放法，所以共有288种放法.【错解二】分三步完成.首先取出3个盒子，有种方法；再把球分为三组，有种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有种方法.由乘法原理，共有288种方法.【错因】同上题.【正解一】在错解中消除重复，有144种放法.【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有144种放法.【正解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？【错解一】排在排头的有除甲之外的种情形，排在尾的也有除乙之外的种情形，两端排好后余下的排中间有种情形，所以不同的排法有=4320种.【错因】排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5种情形.【正解一】减去重复数，应为-53720种.【错解二】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有种排法，余下的人排中间有种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有种，因此不同的排法共有+23840种.【错因】甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了种排法.【正解二】减去重复数，应为+2-3720种排法.重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）【例10】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种. (A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120 【错解】把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有24种站法，答A.【错因】审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.【正解一】按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是、3、2、，所以共有+3+2+ =60种排法，选B.【正解二】利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），有=60(种)，选B .【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：四点位于同一表面；四点为两组相对棱的中点；四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形，就会由算式4150而错选A；若只考虑到情形、，就会由算式43147而错选B；若只考虑到情形、，就会由算式46144而错选C；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果463141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种【正解一】A的卡分给B、C、D三人，有种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、C、D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有种方法，所以共有9种不同的分法.【正解二】设A先拿卡有种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先