2014年江西省高考数学试卷（文科）

2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A1B2CD2（5分）设全集为R，集合A=x|x290，B=x|1x5，则A（RB）=（）A（3，0）B（3，1）C（3，1D（3，3）3（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD4（5分）已知函数f（x）=（aR），若ff（1）=1，则a=（）ABC1D25（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）ABC1D6（5分）下列叙述中正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”Dl是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则7（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1 成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2 视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3 智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4 阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A成绩B视力C智商D阅读量8（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C10D119（5分）过双曲线C：=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=110（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2x+与y=a2x32ax2+x+a（aR）的图象不可能的是（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2xy+1=0，则点P的坐标是 12（5分）已知单位向量与的夹角为，且cos=，若向量=32，则|= 13（5分）在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 14（5分）设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于 15（5分）x，yR，若|x|+|y|+|x1|+|y1|2，则x+y的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+）为奇函数，且f（）=0，其中aR，（0，）（1）求a，的值；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值17（12分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列18（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a0（1）当a=4时，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间1，4上的最小值为8，求a的值19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1，（1）求证：A1CCC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值20（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值21（14分）将连续正整数1，2，n（nN*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率（1）求p（100）；（2）当n2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）g（n），S=n|h（n）=1，n100，nN*，求当nS时p（n）的最大值2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A1B2CD【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|【解答】解：复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），z=1+i，|z|=，故选：C【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题2（5分）设全集为R，集合A=x|x290，B=x|1x5，则A（RB）=（）A（3，0）B（3，1）C（3，1D（3，3）【分析】根据补集的定义求得RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A（RB）【解答】解：集合A=x|x290=x|3x3，B=x|1x5，RB=x|x1，或 x5，则A（RB）=x|3x1，故选：C【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题3（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是66=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点4（5分）已知函数f（x）=（aR），若ff（1）=1，则a=（）ABC1D2【分析】根据条件代入计算即可【解答】解：ff（1）=1，ff（1）=f（2（1）=f（2）=a22=4a=1故选：A【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题5（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）ABC1D【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论【解答】解：3a=2b，b=，根据正弦定理可得=，故选：D【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础6（5分）下列叙述中正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”Dl是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案【解答】解：A、若a，b，cR，当“ax2+bx+c0”对于任意的x恒成立时，则有：当a=0时，要使ax2+bx+c0恒成立，需要b=0，c0，此时b24ac=0，符合b24ac0；当a0时，要使ax2+bx+c0恒成立，必须a0且b24ac0若a，b，cR，“ax2+bx+c0”是“b24ac0”充分不必要条件，“b24ac0”是“ax2+bx+c0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件故A错误；B、当ab2cb2时，b20，且ac，“ab2cb2”是“ac”的充分条件反之，当ac时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2cb2不成立“ac”是“ab2cb2”的必要不充分条件故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意xR，有x20”的否定应该是“存在xR，有x20”故C错误；D、命题“l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则”是两个平面平行的一个判定定理故D正确故选：D【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题7（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1 成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2 视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3 智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4 阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A成绩B视力C智商D阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论【解答】解：表1：X2=0.009；表2：X2=1.769；表3：X2=1.3；表4：X2=23.48，阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C10D11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1S，跳出循环，输出i的值为9故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题9（5分）过双曲线C：=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令x=a，则y=b，即A（a，b），右焦点F（4，0），|FA|=4，（a4）2+b2=16，a2+b2=16，a=2，b=2，双曲线C的方程为=1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2x+与y=a2x32ax2+x+a（aR）的图象不可能的是（）ABCD【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a0时，求出函数ax2x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x32ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项【解答】解：当a=0时，函数y=ax2x+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数y=a2x32ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；当a0时，函数y=ax2x+图象的对称轴方程为直线x=，由y=a2x32ax2+x+a可得：y=3a2x24ax+1，令y=0，则x1=，x2=，即x1=和x2=为函数y=a2x32ax2+x+a的两个极值点，对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，故A、C符合要求，B不符合，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2xy+1=0，则点P的坐标是（e，e）【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数为f（x）=lnx+x=1+lnx，直线2xy+1=0的斜率k=2，曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2xy+1=0，f（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义12（5分）已知单位向量与的夹角为，且cos=，若向量=32，则|=3【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到|的值【解答】解：=9=9，|=3，故答案为：3【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题13（5分）在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（1，）【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7S8，S9S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围【解答】解：Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，即，解得：，综上：d的取值范围为（1，）【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题14（5分）设椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用ADF1B，建立方程关系即可得到结论【解答】解：连接AF1，ODAB，O为F1F2的中点，D为BF1的中点，又ADBF1，|AF1|=|AB|AF1|=2|AF2|设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，e=【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大为了方便，可以先确定一个参数的值15（5分）x，yR，若|x|+|y|+|x1|+|y1|2，则x+y的取值范围为0，2【分析】根据绝对值的意义，|x|+|y|+|x1|+|y1|的最小值为2，再根据条件可得只有|x|+|y|+|x1|+|y1|=2，此时，0x1，0y1，从而求得x+y的范围【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故|x|+|y|+|x1|+|y1|的最小值为2再根据|x|+|y|+|x1|+|y1|2，可得 只有|x|+|y|+|x1|+|y1|=2，此时，0x1，0y1，0x+y2，故答案为：0，2【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+）为奇函数，且f（）=0，其中aR，（0，）（1）求a，的值；（2）若f（）=，（，），求sin（+）的值【分析】（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cos，则的值可得（2）利用f（）=和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin，cos，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案【解答】解：（1）f（）=（a+1）sin=0，（0，）sin0，a+1=0，即a=1f（x）为奇函数，f（0）=（a+2）cos=0，cos=0，=（2）由（1）知f（x）=（1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x（sin2x）=，f（）=sin=，sin=，（，），cos=，sin（+）=sincos+cossin=【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题综合运用了所学知识解决问题的能力17（12分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列【分析】（1）利用“当n2时，an=SnSn1；当n=1时，a1=S1”即可得出；（2）对任意的n1，假设都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列利用等比数列的定义可得，即（3n2）2=1（3m2），解出m为正整数即可【解答】（1）解：Sn=，nN*当n2时，an=SnSn1=3n2，（*）当n=1时，a1=S1=1因此当n=1时，（*）也成立数列an的通项公式an=3n2（2）证明：对任意的n1，假设都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列则，（3n2）2=1（3m2），化为m=3n24n+2，n1，m=3n24n+2=1，因此对任意的n1，都存在m=3n24n+2N*，使得a1，an，am成等比数列【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题18（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a0（1）当a=4时，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间1，4上的最小值为8，求a的值【分析】（1）当a=4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值【解答】解；（1）当a=4时，f（x）=（4x2+4ax+a2），f（x）=（4x216x+16），f（x）=（8x16）+（4x216x+16）=2（）=，f（x）0，x0，5x212x+40，解得，0x，或x2，当a=4时，f（x）的单调递增区间为0，）和（2，+）；（2）f（x）=（4x2+4ax+a2），；令f（x）=0解得，当f（x）0时，x（0，）或，此时f（x）单调递增，当f（x）0时，x（），此时f（x）单调递减，当4，即a40，f（x）在区间1，4为增函数，由f（1）=8，解得a=2，不符合舍去当1，即2a0时，f（x）在区间1，4为增函数，由f（1）=8，解得a=2，不符合舍去当1，4即10a8时，f（x）在区间1，4为减函数，由f（4）=8，解得a=10，当，即40a10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=2，或a=6，a=10，不符合舍去，当，即8a2时，由f（）=8，无解综上所述，a=10【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论对学生的能力要求较高，属于难题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1，（1）求证：A1CCC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值【分析】（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1CCC1；（2）作AOBC 于O，连结A1O，说明AA1O=90，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABCA1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值【解答】解：（1）三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACC1BB1，AA1BC，CC1BC，A1BBB1，A1BCC1，BCBA1=B，CC1平面BA1C，A1C平面BA1CA1CCC1；（2）作AOBC于O，连结A1O，由（1）可知AA1O=90，AB=2，AC=，BC=，ABAC，AO=，设A1A=h，A1O=，三棱柱ABCA1B1C1体积V=，当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，最大值为：【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力20（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值【分析】（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x24kx8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=8，由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D的坐标为，利用x1x2=8，即可求得D点在定直线y=2（x0）上；（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a0），代入x2=4y，由=0化简整理得b=a2，故切线l的方程可写成y=axa2分别令y=2、y=2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（+a，2），从而可证|MN2|2|MN1|2为定值8【解答】（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x24kx8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=8，直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2解得交点D的坐标为注意到x1x2=8及=4y1，则有y=2，因此D点在定直线y=2（x0）上（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），即x24ax4b=0，由=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=a2故切线l的方程可写成y=axa2分别令y=2、y=2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（+a，2），则|MN2|2|MN1|2=+42=8，即|MN2|2|MN1|2为定值8【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能