2014年湖南省高考数学试卷（理科）

2014年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A+iBiC+iDi2（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P33（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A3B1C1D34（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A20B5C5D205（5分）已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则x2y2，在命题pq；pq；p（q）；（p）q中，真命题是（）ABCD6（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，67（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D48（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）ABCpqD19（5分）已知函数f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=10（5分）若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 12（5分）如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，则O的半径等于 13若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，则a= （二）必做题（14-16题）14（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k= 15（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则= 16（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足|=1，则|+|的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共75分17（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望18（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（）证明：O1O底面ABCD；（）若CBA=60，求二面角C1OB1D的余弦值20（13分）已知数列an满足a1=1，|an+1an|=pn，nN*（）若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（）若p=，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式21（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值22（13分）已知常数a0，函数f（x）=ln（1+ax）（）讨论f（x）在区间（0，+）上的单调性；（）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）0，求a的取值范围2014年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A+iBiC+iDi【分析】根据复数的基本运算即可得到结论【解答】解：=i，z+i=zi，即z=i，故选：B【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础2（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础3（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A3B1C1D3【分析】将原代数式中的x替换成x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可【解答】解：由f（x）g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成x，得f（x）g（x）=x3+x2+1，根据f（x）=f（x），g（x）=g（x），得f（x）+g（x）=x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1故选：C【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果4（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A20B5C5D20【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1=，要求解（x2y）5的展开式中x2y3的系数，所以r=3，所求系数为：=20故选：A【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查5（5分）已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则x2y2，在命题pq；pq；p（q）；（p）q中，真命题是（）ABCD【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：根据不等式的性质可知，若若xy，则xy成立，即p为真命题，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立，即命题q为假命题，则pq为假命题；pq为真命题；p（q）为真命题；（p）q为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础6（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，6【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：若0t2，则不满足条件输出S=t33，1，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+1（1，9，此时不满足条件，输出S=t3（2，6，综上：S=t33，6，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础7（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8r+6r=，r=2故选：B【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）ABCpqD1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）=（1+x）2，解得x=1，故选：D【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知函数f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】由f（x）dx=0求得cos（+）=0，故有 +=k+，kz可取=，则f（x）=sin（x）令x=k+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程【解答】解：函数f（x）=sin（x），f（x）dx=cos（x）=cos（）cos（）=cossin=cos（+）=0，+=k+，kz，即 =k+，kz，故可取=，f（x）=sin（x）令x=k+，求得 x=k+，kZ，则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，故选：A【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（x+）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题10（5分）若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）【分析】由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，函数h（x）=exln（x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围【解答】解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=exln（x+a）为增函数，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a的取值范围是（，），故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是（cossin）=1【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程【解答】解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线C：（为参数），即 （x2）2+（y1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=1，故直线l的方程为 y=x1，即xy1=0再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得cossin1=0，即（cossin）=1故答案为：（cossin）=1【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题12（5分）如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，则O的半径等于1.5【分析】设垂足为D，O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可【解答】解：设垂足为D，O的半径等于R，则AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，AD=1，R2=2+（R1）2，R=1.5故答案为：1.5【点评】本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题13若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，则a=3【分析】由题意可得和是|ax2|=3的两个根，故有，由此求得a的值【解答】解：关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，和是|ax2|=3的两个根，a=3，故答案为：3【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题（二）必做题（14-16题）14（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k=2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小目标函数为2x+y=6，由，解得，即A（2，2），点A也在直线y=k上，k=2，故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则=【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值【解答】解：由题意可得，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得a0，b0，p0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2abb2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算16（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足|=1，则|+|的最大值是+1【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cos，sin），求得|+|+|+|，可得|+|的最大值【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cos，sin），则|+|+|+|=+1|+|的最大值是 +1，故答案为：+1【点评】本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分17（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望【分析】（）利用对立事件的概率公式，计算即可，（）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可【解答】解：（）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为（）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，所以X的分布列如下：X0120100220P（x） 则数学期望E（X）=140【点评】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型18（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长【分析】（）利用余弦定理，利用已知条件求得cosCAD的值（）根据cosCAD，cosBAD的值分别，求得sinBAD和sinCAD，进而利用两角和公式求得sinBAC的值，最后利用正弦定理求得BC【解答】解：（）cosCAD=（）cosBAD=，sinBAD=，cosCAD=，sinCAD=sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCADcosBADsinCAD=+=，由正弦定理知=，BC=sinBAC=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（）证明：O1O底面ABCD；（）若CBA=60，求二面角C1OB1D的余弦值【分析】（）由已知中，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形可得O1OCC1BB1且CC1AC，BB1BD，进而OO1AC，OO1BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O底面ABCD；（）设四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若CBA=60，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值【解答】证明：（）四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，四边形ABCD为菱形，又ACBD=O，故O为BD的中点，同理O1也是B1D1的中点，又四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1OCC1BB1且CC1AC，BB1BD，OO1AC，OO1BD，又ACBD=O，AC，BD平面ABCD，O1O底面ABCD；解：（）设四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，OB，OC，OO1两两垂直，如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz设AB=2，CBA=60，OA=OC=1，OB=OD=，则O（0，0，0），B1（），C1（0，1，2）易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即取z=，则x=2，y=2，所以=（2，2，）设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是：cos=|cos，|=|=，故二面角C1OB1D的余弦值为【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键20（13分）已知数列an满足a1=1，|an+1an|=pn，nN*（）若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（）若p=，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式【分析】（）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“an是递增数列”对求出的p的值取舍；（）根据数列的单调性和式子“|an+1an|=pn”、不等式的可加性，求出和a2n+1a2n=，再对数列an的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列an的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来【解答】解：（）数列an是递增数列，an+1an0，则|an+1an|=pn化为：an+1an=pn，分别令n=1，2可得，a2a1=p，即a2=1+p，a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2p=0，解得或0，当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列an是递增数列，；（2）由题意可得，|an+1an|=，则|a2na2n1|=，|a2n+2a2n+1|=，数列a2n1是递增数列，且a2n是递减数列，a2n+1a2n10，且a2n+2a2n0，则（a2n+2a2n）0，两不等式相加得a2n+1a2n1（a2n+2a2n）0，即a2n+1a2n+2a2n1a2n，又|a2na2n1|=|a2n+2a2n+1|=，a2na2n10，即，同理可得：a2n+3a2n+2a2n+1a2n，即|a2n+3a2n+2|a2n+1a2n|，则a2n+1a2n=当数列an的项数为偶数时，令n=2m（mN*），这2m1个等式相加可得，=，则；当数列an的项数为奇数时，令n=2m+1（mN*），这2m个等式相加可得，+=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大21（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值【分析】（）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值【解答】解：（）由题意可知，且e1e2=，且|F2F4|=1，且解得：椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（）由（）可得F1（1，0）直线AB不垂直于y轴，设AB的方程为x=ny1，联立，得（n2+2）y2