高中数学知识要点重温（6）数列综合知识点分析

高中数学知识要点重温（6）数列综合1. 遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用使用这个结论的程序是：写出Sn的表达式，再“后退”一步（降标）得Sn-1的表达式，作差；得an的表达式。注意：n2的要求切不可疏忽！若Sn的表达式无法写出，亦可将an表示成Sn-Sn-1，得到一个关于Sn的递推关系后，进一步求解。举例1 数列的前n项和=an+b,(a0, 且a1),则数列成等比数列的充要条件是_解析：降标得：=an-1+b, (n2),作差得：an=an- an-1= an-1(a-1), (n2)再“升标”得：an+1= an(a-1)；，(n2)，数列成等比数列的充要条件是：，即b= 1。举例2数列中，a1=1，Sn为数列的前n项和，n2时=3Sn，则Sn= 。解析：思路一：同举例1得：an an-1=3an (n3) (n3) 数列从第二项开始成等比数列（注意：不是从第三项开始），又a2=3（a1+a2）得a2=,n2时= a2qn-2=()()n-2(这个地方极容易出错)，即=Sn=，注意到n=1和n2可以统一，Sn=。（冗长烦琐，步步荆棘！）思路二：要求的不是而是Sn，可以考虑在=3Sn中用Sn-Sn-1代换（体现的是“消元”的思想，思路一是加减消元，消去Sn；思路二是代入消元，消去）得：Sn-Sn-1=3Sn，（n2），即，（n2），又S1=1，Sn =。巩固1数列an的前n项和，数列bn满足： .（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前n项和Tn。巩固2等差数列的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列的第二项、第三项、第四项求数列与的通项公式；设数列对任意整数n都有成立,求c1+c2+c2020的值. 2.形如：+的递推数列，求通项时先“移项”得=后，再用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法；形如：an+1= qan+p (a1=a，p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项（在递推的过程中把握规律）或用待定系数法构造等比数列（公比为q）；形如：（为常数）的递推数列求通项，先“取倒数”，可得数列是等差数列（公差为）。举例已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a10 ；解析：an+1-an=2n-1，分别取n=1，2，9，叠加得：a10-a1=（2+22+29）-9=210-11 a10=210-10.若数列an满足a1=，（n2）, 则an= ；解析：“取倒数”得：（n2），记数列+为等比数列，且公比为2，（为常数），则+=2（+）（n2），可见=-1，而-1=2-1=2n, =2n+1, an=。注：（）有时能够看、猜、试出来，未必非要“待定系数”。（）数列+为等比数列，其首项是+而不是a1，同样，通项是+而不是an，这是很容易出错的一个地方。（）若递推关系变为an+1= qan+pn,则也相应变为pn，其他做法不变。已知数列an满足：a1+2a2+3a3+nan=an+1且a2=2， 则an 。解析：“降标”得a1+2a2+3a3+（n-1）an-1=an，（n2）作差得(n+1)an=an+1（n2）（n2）分别取n=2，3，n-1, 连乘得：，又a2=2得an=n! （n2）而a1=a2,an=。 提高某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采用分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，若商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),则该顾客每月付款的数额为_3. 应掌握数列求和的常用方法：应用公式（必须要记住几个常见数列的前n项和）、折项分组（几个数列的和、差）、裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项差后叠加）、错位相减（适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列）、倒序相加等，要根据不同数列的特点合理选择求和方法（其中最重要、最常见的是裂项）。举例数列中，若，数列满足，则数列的前项和为 。解析：求的过程请读者自己完成。 =，数列的前项和为：。一般地：通项为分式的数列求和多用“裂项”，“裂项”是“通分”的逆运算，可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。已知=，Sn为数列的前n项和，=nSn，求数列的前n项和Tn；解析：Sn=-2=n-2n, Tn=122+223+324+ n-2（1+2+3+n）(视数列的前n项和为两个数列的前n项和的差，此即“分组求和”)记：Rn=122+223+324+ n-）2Rn= 123+224+（n-1）+ n- Rn=122+123+124+ 1- nRn=122+223+324+ n，求Rn用“错位相减”法：- Rn=2n+2-4-n2n+2=-(n-1) 2n+2-4,Rn=(n-1) 2n+2+4 Tn=(n-1) 2n+2+4-n(n+1)。注：“错位相减”法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。“相减”后的n+1项中，“掐头去尾”中间的n-1项成等比数列。= 解析：S=用“倒序相加”：得2S=n2n, S=n2n-1 。 巩固设数列是公差不为零的等差数列，其前项之和为，已知与的等比中项为，且与的等差中项为1。(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项之和为，其中，问是否存在实数M，使得对任意正整数都成立？若存在，试求出实数M的范围；若不存在，试说明理由。4.与数列相关的不等式问题多用“放缩法”或数列的单调性解决。举例1在数列中，已知， （）证明数列-1是等比数列，并求数列的通项公式；（）求证：解析：（）留给读者自己完成（参看第2条举例），；（）（2）=2+2+