高一数学解斜三角形（通用）

解 斜 三 角 形一、基本知识： （1）掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形（2）能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数（3）能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题二、例题分析：例1 在ABC中，已知a=3，c=3，A=30，求C及b 分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论 解 A=30，ac，csinA=a， 此题有两解 sinC= = = ， C=60，或C=120 当C=60时，B=90，b=6 当C=120时，B=30，b=a=3 点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论 例2 在ABC中，已知acosA=bcosB，判断ABC的形状 分析 欲判断ABC的形状，需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换 解 方法一：由余弦定理，得 a（）=b（）， a 2c 2a 4b 2c 2+b 4=0 (a2b2)(c 2a2b2)=0 a2b2=0，或c2a2b2=0 a=b，或c2=a2+b2 ABC是等腰三角形或直角三角形 方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B，或2A=2B A=B，或A+B= ABC为等腰三角形或直角三角形 点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换 例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 ABCDO分析 四边形ABCD的面积等于ABD和BCD的面积之和，由三角形面积公式及A+C=可知，只需求出A即可所以，只需寻找A的方程 解 连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180， sinA=sinC 故S=（24+64）sinA=16sinA 在ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA 在CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC 2016cosA=5248cosC cosC=cosA， 64cosA=32，cosA= 又0A180，A=120 APCBba故S=16sin120=8 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米，下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大 分析 如图，使观察者上下视角最大，即使APB最大，所以需寻找APB的目标函数由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之 解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PCAB，AC=b，BC=a(0ab)， 则APB=为视角 y=tan=tan(APCBPC)= = = ， 当且仅当x= , 即x=时，y最大 由（0，）且y=tan在（0，）上为增函数，故当且仅当x=时视角最大 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题 三、训练反馈：1在ABC中，已知a=，b=2，B=45，则A等于 （ A ）A30 B60 C60或120 D30或1502若三角形三边之比为357，则这个三角形的最大内角为 （ C ）A60 B 90 C 120 D 150CANBCN113货轮在海上以40千米/小时的速度由B到C航行，航向的方位角NBC=140，A处有灯塔，其方位角NBA=110，在C处观测灯塔A的方位角NCA=35，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是 （ C ）A10km B10kmC10() km D10（）km4ABC中，tanA+tanB+=tanAtanB，sinAcosA=，则该三角形是 （ A ）A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等边三角形或直角三角形5在ABC中，已知（b+c）(c+a)(a+b)=456，则此三角形的最大内角为 （ A ）A120 B150 C60 D906若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在 （ B ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则ABC的形状为 钝角三角形8在ABC中，已知c=10，A=45，C=30，则b= 5（+ ）9在ABC中，若sinAsinBsinC=51213，则cosA= 10在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为 11已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，S是ABC的面积，若a=4，b=5，s=5，求c的长度或12在ABC中，sin2Asin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大