高中数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识与技能】1掌握平面向量数量积的坐标表示;2掌握向量垂直的坐标表示的等价条件及平面内两点间的距离公式.3能用所学知识解决有关综合问题.【过程与方法】本节研究如何用向量坐标求向量的数量积、模和夹角，又是以“计算”研究几何性质的内容，学习时可先回顾2.3.2、2.3.3的相关知识以便更好地掌握，而且本节公式较多，应仔细比较.一教学目标 1掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直（3）根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式2通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神3通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法向量法与坐标法处理向量问题的意识 二教学重点 平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件 教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用.三教学过程 1设置情境我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论这一问题2探索研究（1）请同学思考一下，如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？答：，运算律有123（2）已知，怎样用、的坐标表示呢？请同学看下列问题（投影）_1_ _1_0_ _0_你能推导出的坐标公式吗？ 这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得： . 若设、则，这就是、两点间的距离公式. 问：请同学写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式. 答：（3）例题分析【例1】设，求. 解：问：、夹角多大？【例2】已知，求证是直角三角形. 证明： 是直角三角形. 问：还有其他证明方法吗？ （可计算、，然后用勾股定理验证） 【例3】求与向量的夹角为的单位向量. 分析：单位向量其长为1. 解：设所求向量为 与成 另一方面 又 联立解之：，或，. 或说明：也可以设，还可以先把单位化. 3演练反馈（投影）（1）已知，且，求. （2）已知，求与垂直的单位向量. （3）中，求的值. 提示：分类讨论 参考答案：（1） （2） ，则易证或与垂直. 与垂直的单位向量为，或，而. 或为所求答案. （3）解：时，时，时，. 4总结提炼（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如与总是垂直的。（3）把一平面向量单位化，有时能给讨论问题带来方便，比如求在方向的投影，不妨先把单位化，为，则就是所求答案。五板书设计【补充例题】例1 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x. 解：设x = (t, s)， 由 x = (2, -3)例2 已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b记a与b的夹角为，则cos又0，评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例3 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由B点坐标或；=或 例4 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值.解：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当B =