解析几何中有关参数范围问题的求解策略 学法指导 不分版本

解析几何中有关参数范围问题的求解策略曾庆宝解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是难点问题。解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。一. 运用数形结合探求参数范围 例1. m为何值时，直线与半椭圆只有一个公共点？分析：因为椭圆为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题，则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错。若用数形结合的思想来研究则直观易解。如图，是直线系中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在与之间的直线（含，不含）及都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m是这些直线在y轴上的截距，由此可求m的范围。解：过，则过，则由得到关于x的一元二次方程。利用0得综上所得，或二. 构建函数关系探求参数范围 例2. P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQMN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为，则从而当时，MN的斜率为，同上可推得故四边形面积令，得因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。当时，MN为椭圆长轴，综合知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。三. 构造含参数不等式探求参数范围 例3. 已知抛物线，过M（a，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于（2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。解：（1）直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得设直线与抛物线两交点的坐标分别为，则，并且又所以解得：（2）令AB中点为Q，即NAB的面积的最大值为。 例4. 已知梯形ABCD中，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。解：如图建立坐标系，CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由，即解得：设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线的方程得：将式代入式，整理得：故依题设得：解得：所以双曲线的离心率的取值范围是四. 运用几何性质探求参数范围 例5. 已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点。证明：分析：欲证满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：，因此问题转化为寻求与x的关系。证明：由题设可知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以若设，则有：因为点A、B在椭圆上，所以从而由可得，五. 构造方程运用判别式探求参数范围 例6. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求p的取值范围。分析：解决本题的关键是建立方程，运用判别式找到关于p的不等式。解：设抛物线上关于直线对称的两点是设直线MN的方程为，代入抛物线方程，得则则MN的中点P的坐标为又因点P在直线上，所以，即又将代入得：解得：【练习】 1. 设椭圆的两个焦点是与，且，椭圆上存在一点P，使得直线与垂直。（1）求实数m的取值范围；（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点Q若，求直线的方程。 2. 在以O为原点的直角坐标系中，点为OAB的直角顶点。已知，且点B的纵坐标大于零。（1）求向量的坐标；（2）求圆的关于直线OB对称的圆的