第四章 根轨迹分析法

3.5某控制系统的方块图如图3-34。,3、求解在这个Kc（Kc1.43）下，系统过渡过程的峰值时间和稳态误差。,1、当调节器增益Kc=1,且系统的输入为单位阶跃干扰，试求系统的输出响应。,第四章根轨迹分析法,系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。,l研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计调节器（设计问题）。,l研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性之间的定性、定量关系（分析问题）；,l根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平面的位置（设计问题）；,伊凡思(W.R.Evans)创立根轨迹法（1948）,几何图解求解特征根,l系统中某一参数在全部范围内（0）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。,l可以推广到其它参数的变化广义根轨迹。l可用于单变量系统和多变量系统。,l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。,l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控制系统。,本章主要内容,以K为变量的常规根轨迹的绘制方法以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法根轨迹分析方法的应用利用根轨迹分析和设计控制系统,4.1根轨迹的概念,定义：,根轨迹,系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。,1根轨迹举例,例4-1二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。,开环传递函数：,分析：,闭环特征方程,求出2个闭环特征根：,（4-1-1）,闭环特征根是K的函数。当K从0变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹。,闭环传递函数：,K取不同值：,（等于两个开环极点）,(两根重合于0.5处),（即0K1/4，两根为实根）,1,0.5,(两根为共轭复数根，其实部为0.5),总结：,有两个闭环极点，有2条根轨迹。,根轨迹是从开环极点出发点。,通过选择增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上。,如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。,这是个？阶系统，,2,根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。,例4-2,对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。,根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。,解：,阻尼角计算如下：,阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可以计算出来。,与（4-1-1）式比较得：,即K=1。,获得系统的根轨迹有两个方法：,图解法：利用Evans总结的规律画出根轨迹。近似、简单，尤其适合高阶系统,解析法：对闭环特征方程解析求解，逐点描绘。精确，工作量大,4.2根轨迹绘制的基本规则,1、根轨迹的基本关系式,典型的反馈控制系统如图:,其开环传递函数：,（4-2-1）,其中：K:开环增益,开环零点,开环极点,闭环传递函数：,闭环特征方程为：,它们满足：,G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：,绘制根轨迹必须满足的基本条件：,（相角公式：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）,幅值条件,相角条件,（积的模等于模的积，商的模等于模的商）,注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹。,2.观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。,画法：利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。,例4-3,某系统开环传递函数,分析：,在s平面上，表示开环零点，表示开环极点。,2个开环极点p1和p2。,设s是系统的一个闭环特征根，,相角条件：,可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:,s,则它必须满足：,一个开环零点z1，,2、绘制根轨迹的基本规则,例4-4,要求画出根轨迹。,某单位反馈系统,分析：1个开环零点，3个开环极点，,-5,-2,-1,0,规则一、,根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。,闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。,闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次,=开环极点数,例中，,规则二、,根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。,根轨迹是K从0时的根变化轨迹，因此必须起于K=0处，止于K=处。,观察幅值条件：,如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。,规则三、,根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。,证明：（1）连续性,从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。,证明：（2）对称性,因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。,*规则四、,实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。,例如系统的开环零、极点分布如图。,0,1,2,5,要判断和之间的线段是否存在根轨迹，取实验点,开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。,处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零，相角条件由其右边的零极点决定。,奇数个，无论如何加减组合，总能使（2k1)(k=0,1,2,)成立。,对于例题，,在实轴上的根轨迹：,一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。,规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。,渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。,渐近线与实轴的夹角为：,渐近线与实轴的交点为：,l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状,规则五、,证明：,见图4-5。,对于位于根轨迹上某一动点s0，,从各开环零极点到这一点的向量的相角随s0轨迹的变化而变化，,当s0到达无穷远处，各相角相等，令其为，可写成：,进而求出渐近线夹角：,由对称性知，,渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。,按照重心的求法，可求知交点的坐标,对例4-4，,交点坐标为：,即（1，j0）。,渐近线与实轴夹角为：,规则六、,当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入(离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。,性质:(重点讨论实轴上的分离点）,在此点上必出现重根。,利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻开环极点间时，必有一分离点。,若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点。,根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。,根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式的解。分离角l是重根数。,由求极值的公式求出：,它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者),在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s值:,注意：求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。,在例题4-4中，,解出：,对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。,求出分离角为:,规则七、,根轨迹与虚轴的交点：,根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。,在例4-4中，系统闭环特征方程式为：,即：,劳斯行列式,当6-2K=0时，特征方程出现共轭虚根，求出K3。,虚根可利用s2行的辅助方程求出：,与虚轴的交点,交点和相应的K值利用劳斯判据求出。,与虚轴的交点为,例4-4的根轨迹如图。,K=.084,1、画出开环零极点,2、确定根轨迹根数,3、确定起止点，画出实轴上的根轨迹,4、求渐进线（nm）,5、求分离点,6、求与虚轴交点,7、画出根轨迹,8、求出特殊点对应的K值,K值由根轨迹幅值条件求出：,如分离点（-0.447,j0）处的K值：,规则八、,根轨迹的起始角：,在开环复数极点px处，根轨迹的起始角为：,在开环复数零点zy处，根轨迹的终止角为：,若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。,证明：,设一系统的开环零、极点分布如图所示，,点为从出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的角度应符合相角条件：,l而p1、p2、p4、z都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的矢量的相角。,此时，起始角可以计算：,同理可证明终止角。,例4-5,设系统开环零极点图如图。,其中,确定根轨迹离开共轭复数根的起始角。,根据公式：,考虑到根轨迹的对称性，,起始角p3=-5，p4=5,例4-6,作的根轨迹。,开环极点3个：,分析：n=3，m=0,没有开环零点。,(在s平面上的极点处标以“”，),根据规则一、二、三：,根据规则四，实轴上0-为根轨迹。,分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。,根轨迹有三个分支：,根据规则五，求渐近线:n-m=3条,例4-6,渐近线与实轴夹角：,渐近线与实轴的交点：,-2.767,60,没有分离点。,例4-6,根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程：,K=256，必对应于一对纯虚根，,以的系数构成辅助方程:,例4-6,根据规则八求起始角：,对P2，根轨迹的起始角为：,由对称性知：-4-j4处的起始角为45,根轨迹完成。,例4-7,作的根轨迹。,该系统n=3，m=1。,根据规则一、二、三：,一个零点：,有三个开环极点：,该根轨迹有三个分支,分别起始于p=0(两条)和p=-12处，,有一个分支终止于z=-1,另两个分支趋于无穷远。,根据规则四：实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。,例4-7,根据规则五：渐近线有2条，n-m2。,-5.5,渐近线夹角：,渐近线与实轴的交点：,例4-7,根据规则七、求根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程是：,K0时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点于K=0处。,例4-7,根据规则六、求分离点,则：,s1=-5.18,s2=-2.31，s30。,可知一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。,均在根轨迹上。,大Ks1小Ks2,求出分离角为:,-5.5,例4-7,利用幅值条件，可求出分离点的K值。,s2是第一分离点，s1是第二分离点。,完整的绘出根轨迹如图所示。,作业：4-7，4-5(2)(4),s1=-5.18,s2=-2.31，s30。,4.3广义根轨迹,常规根轨迹以开环增益K为可变参量,这些参数必须以线性形式出现在特征方程中。,（如某些开环零极点、调节器PID参数或者系统的时间常数等）,广义根轨迹其它参数为变量,常用的研究方法把广义根轨迹转换成常规根轨迹，使用常规根轨迹的方法绘制广义根轨迹。,1、单参数根轨迹,绘制广义根轨迹的步骤如下：,(2)列写以新的变量表示的等效系统开环传递函数(GH)e,(1)写出原系统的闭环特征方程式；,l概念：指具有相同的闭环特征方程：,l做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。这样，参变量移到K的位置。,因而具有相同的闭环特征根。,(3)把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常规根轨迹的绘制规则，绘制广义根轨迹。,绘制广义根轨迹的关键是得到等效开环传递函数。,（1）等效开环传递函数,以下图所示的调节系统为例说明。,1、,2、,3、,广义根轨迹绘制总结：,l关键点要把新参数移到原K的位置上，利用常规根轨迹的画法。,等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点)上，不等效在闭环传递函数上。,l移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原系统相同。,必须注意：,广义根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，不能用于分析整个闭环系统。,闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对系统的闭环过程也有影响。,（2）广义根轨迹的画法,绘制当对象的开环极点p变化时的广义根轨迹。,例4-8,开环传递函数：,开环极点：,闭环特征方程:,K=4,等效系统的开环传递函数,分析：,l等效系统有两个开环极点，一个开环零点0。,l根轨迹起点于，终止于零和无穷远处。,渐近线：,-2,P,P,P=0,j2,-j2,求分离点坐标：,l负实轴为根轨迹，有一分离点。,P=0,把s-2代入p的公式，求出此点p=4。,研究开环极点对闭环极点的影响,分离角为90。,K=4,P=0无阻尼；04过阻尼。,还可以画出在p=0时，K从零到无穷大变化时的根轨迹。,此时，系统的开环传递函数为：,闭环特征方程：,根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向无穷远处的轨迹。求特殊点的K值。,j2(K=4),-j2(K=4),p=0,在处两图都有K=4，p=0。,2、多参数根轨迹,当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹叫作根轨迹族。,根轨迹族的一般做法是：,l每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零变化到无穷大，画出根轨迹；,l随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出根轨迹。,有两种做法：,以上述系统为例，绘出当系统开环增益K和开环极点p从零到无穷大变化时的根轨迹族。,（1）分别取K为不同值，画出参数p变化时的根轨迹。,此时，等效开环传递函数为：,l对应于任何K，都有2条根轨迹。,l复平面上的根轨迹是以原点为圆心，半径是的半圆，与实轴交点在-。见图。,l起点于等效开环传递函数的极点,止于零和无穷远处。,-1,-2,-3,P=,P=0,j1(K=1),j2(K=4),j3(K=9),（2）分别取p为不同值，画出参数K变化时的根轨迹。,此时，开环传递函数为：,对应于任意p值都有2条根轨迹；起点在开环极点0和-p；实轴上根轨迹在-p和0之间；分离点坐标是-p/2，分离角为90；2条根轨迹经-p/2交点后，分别平行于虚轴，趋向无穷远处。,P=2,P=4,表面看来，,P=2,P=4,上述两图不同，但仔细观察，在两图中，当K和p取相同一组值时，特征根s也取相同值。,如K=4，p=4，s=-2，,P=2,K=4,P=4,4.4利用根轨迹分析控制系统,l主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素l系统特征根在S平面上的位置与动态指标的关系,l目的在于给出系统设计的指导方向,l改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制质量的影响,一、特征根与系统动态指标的关系,1,1,2,2,3,3,见图。,它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。,的虚部，,1和3有相同,2和3有相同的实部；,轴有相同的夹角；,1和2对实,在s左半平面有三类共轭复根，,1,2,3,共轭复根,特征根与系统动态指标的关系,1、超调量和衰减比n,超调量,衰减比,它们与实轴的夹角：,如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，,在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫等线，,落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。,越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差。,等线越靠近虚轴，,它是极点虚部的函数。,在s平面上平行于实轴的直线叫作等频线(等线)。,落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同。,2、峰值时间tp,等频线离实轴越远，则tp越短，振荡频率越高，tp反比于虚部值。,3、调节时间ts（过渡时间）,它是极点实部的函数。,在s平面上平行于虚轴的直线叫作等线。,等线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间ts越短。ts与实部值成反比。,落在这条线上的极点具有相同的实部，它们对应相同的调节时间。,等频线,综上所述，,在五种常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示。,l衰减比和超调量都可以用等线代表,等线,等线,合格区,l当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系统的质量就可达到原定的要求。,l它们重合的部分符合所有指标。,l这三种直线的合格区域都可以用阴影表示出来，如图中所示。,l振荡频率用等频线代表,l调节时间用等线代表,l即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满足系统设计的要求。,l例如，不仅仅改变调节器参数Kc，而且改变调节器结构，给系统增加开环零极点。,l但是，在很多时候，只调整增益不能满足系统的性能。此时必须改造根轨迹。,l当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合适的参数值K，使系统的质量达到原定的要求。,二、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响,例4-8,开环传递函数为：,渐近线：,夹角:,与实轴交点：,与虚轴交点:,分离点：-0.146，,dK/ds=0,例4-8,传递函数：,渐近线：,夹角:,与实轴交点：,与虚轴交点:,时间常数的变化相当于开环极点的变化。,根轨迹如图所示。,如果，,将-0.2这个开环极点增大到0.16，相当于时间常数T2从5增大至6.25，其根轨迹如图所示。,可以看出，一个开环极点增大(向右移动)，闭环系统的一对主要复根的轨迹必然会向右移动。,过渡过程时间增加，使系统稳定的K值下降。,例4-9,研究系统中增加极点对根轨迹的影响。,l增加开环极点（在右边增加）,相当于增加系统的时间常数，使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。,l原点处增加一开环极点,相当于在系统中增加积分作用，与图（c）类似，降低稳定性，但可以消除余差。,作业：4-10，4-14（a:0）,并说明参数a的取值对系统阶跃响应性能的影响。,它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。,增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。,零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，稳定性能越好。与增加极点的效果相反。,Z=-0.6,Z=-.3,Z=-.1,没有零点,*三、开环零点对系统控制质量的影响,要使根轨迹向右偏，增加开环极点，向左偏，增加开环零点。,例4-10,绘制某单位反馈系统的根轨迹，分析Td对根轨迹的影响。,例4-10,讨论：,(1)若Td=0，K取何值，闭环系统皆不稳定。,(2)若选用Td=0.5，它把根轨迹拉进了稳定区域，K4以后系统总是稳定的。,（3）当微分时间加大（开环零点更靠近虚轴时）,一对复数极点会离开虚轴更远一些，过程的振荡减弱。,例4-11,画出例4-10以Td为参变量的根轨迹（K50）。,等效开环传递函数是：,等效开环传递函数有一个零点及三个极点。,闭环特征方程：,分析,可得到下列数据,渐进线：90，a=-2,与虚轴交点：,从复数极点的起始角：138.4,例4-11,但Td再增加，ts减少减慢，振荡频率急剧增加，不利于稳定。,Td0.25，系统才稳定；,随着Td，d，振荡频率增加，根轨迹离虚轴远，ts减少；,在开环传递函数上增加零点:,l在系统中增加微分作用，其实质是增加开环零点。,l可以导致根轨迹向左方面移动，从而增加系统的稳定性，减小系统响应的过渡时间。,总结,微分作用加大（即开环零点更靠近虚轴）有助于改善系统性能，但微分作用并不是越大越好。,使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。在系统中增加积分作用，其实质是增加开环极点。,在开环传递函数上增加极点:,4.5利用根轨迹设计控制系统,一、设计准则,系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。,（1）稳态性能指标稳态误差es。,（2）动态性能指标：,通常以系统的阶跃响应来进行描述：,常用的指标有上升时间tr、峰值时间tp、超调量、调节时间ts等。,设计步骤：,l确定系统的根轨迹是否穿过阴影区域。,l如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域，就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域，然后选择K，实现给定的性能要求。,l如果是，只要确定根轨迹增益K就可以完成设计工作。,l根据提出的性能指标，画出指标线，确定合格区。,二、基本校正装置,（1）超前校正装置（微分校正）,（2）滞后校正装置（积分校正）,（3）微分积分校正装置,（1）超前校正装置（微分校正）,微分校正环节用来改善原系统的动态性能，它使根轨迹向左移，以此改善系统的超调量和调节时间ts。,其传递函数：,恒有：PDZD,超前校正实际微分环节,（2）滞后校正装置（积分校正）,积分校正可以改善系统的稳态性能。,在原点附近增加一对积分性质的偶极子，增加系统的开环增益，改善系统的稳态特性,同时不影响动态特性。,积分校正装置的传递函数为,恒有PI240时，闭环系统是不稳定的。,要求,求出阻尼系数=0.5，,等线与实轴夹角为：,求交点坐标（阻尼角为600）和对应的K值。如何求？,解：,交点坐标可根据相角条件计算出：,两边求正切，,利用公式：,舍去另一不在根轨迹上的根。,必须判断该点是否是闭环主导极点。,求另一闭环极点（在实轴上），,把K=43.8代入特征方程：,求解得,比较三个闭环极点发现，一对复数极点是系统的一对闭环主导极点（实部比在5倍以上）。可以用这对闭环主导极点的响应过程分析系统的响应。,从幅值条件求出该点的K值：,K=43.8,K=43.8,K=43.8,四、超前校正设计（微分校正）,首先绘制对象的根轨迹：,考虑为系统增加一个超前补偿环节D(s)=s+2,即增加了一个附加零点s=2。,超前校正器使根轨迹左移，调节时间减小。,K小时，过阻尼系统，K增加，临界阻尼系统，K继续增加，欠阻尼系统，K大时，仍稳定，但振荡频率增加，调节时间不变化，ts3/=6s,例:对象的开环传递函数：,单纯的微分器不可实现。,=-0.6,解决方法：,在零点左面相当远处选一极点s=-20.,使补偿器为：,实际微分环节,优点依然存在，但克服了缺点。,补偿器增加阻尼，不改变微分性质。,超前校正器的零极点的精确选取要通过