2020年高三数学数形结合常用的工具

山东莘县观城中学高三年级数学组 郭银生 数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种数学方法，它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合思想是高中数学主要的四大思想之一，是每年高考试题必考的内容，高考试题常以下列方式出现：研究方程根的情况，讨论函数的值域，求变量的取值范围解不等式。笔者就常用的“以形定数”的工具归纳如下，以求抛砖引玉之效。一、 韦恩图韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如AB=ABA=B,A=ABABB=AB，C(AB)= CACB, C(AB)= CACB等。例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x,25-x根据题意的实际意义得：，解不等式可得7x25两科都参加得人数的最大值是25和最小值是7二、 数轴例1（1）（2020上海春，5）已知集合A=x|x|2，xR，B=x|xa，且AB，则实数a的取值范围是_.解析：（1）a2；A=x|2x2，B=x|xa，又AB，利用数轴上覆盖关系，因此有a2.点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题三、 斜率公式y=分式型的最值问题可以通过变形,利用斜率公式解决。例3函数y=最大值是 ，最小值是 。解：函数解析式表示经过A（cosx,sinx）和B（2，3）两点连线的斜率k，A在单位圆x+y=1上，经过A和B两点的直线方程为y-3=k(x-2)即kx-y+3-2k=0,由直线和圆的位置关系得1解之可得; k 所以函数得最大值是最小值是。四、 两点间的距离公式求通过变形可以出现的模式的式子的最值问题，可以优先考虑两点间的距离公式的利用例4函数y=的最小值为 。解析：函数可化为y=-这个式子表示P(x,0)到点A(6,4)和点B(2,1)的差，由右图可知，当P、A、B三点共线时，PA-PBAB, AB=5函数取得最大值为5提示：a+b（）（）,表示点（a,b）到原点的距离。五、 直线方程y=kx+b (k0)求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。这一应用在线性规划中体现的很充分求线性目标函数的最值。例5已知x,y满足条件1，求y-3x的最小值和最大值解：令y-3x=b, 即y=3x+b由联立可得： 169966y+16b-400=0,令0得：13b13y-3x的最小值和最大值分别是13和13。六、 圆或半圆（单位圆）例6已知sin+sin=, cos+cos=， 求tan(+)的值解:点A（cos，sin）B(cos ,sin)都在单位圆上，由已知可知A和B的中点C坐标 (,),则直线AB过定点C xOC= +=tanxOC= tan =tan(+)=点评：另外，单位圆中的三角函数线可以辅助解决三角不等式（组）问题。七、 二次曲线（椭圆，双曲线，抛物线）例7已知a0且a1,试求使方程log(x-ak)=log(x-a)有解的实数k的取值范围。解：原方程等价于0x-ak构造曲线C:y=,直线L:y= x-ak从而使问题转化为直线L和双曲线C:x-y=a(y0)x轴上半部分有交点，求实数k的取值范围,如图所示：有三条临界直线L、L、L 当L在L和L之间时，直线L在y轴上的截距 ak满足aak0时L与C有一个交点，解之可得0k1 当L在L上方时，直线L在y轴上的截距ak满足aak时L与C有一个交点，解之可得k1 综合可得，所求k的取值范围是例8求函数y=+的值域。解：设m=, n=, 则m+n=16 (0m4,0n2)原函数可变形为y=m+n, y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知y=2, y=2点评：这两道题目可以建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用圆锥曲线定义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确。八、 余弦定理 例9求sin20+cos50+sin20cos50的值。解：原式=sin20+sin40+ sin20sin40 = sin20+sin40-2 sin20sin40 cos120设三角形的外接圆半径是，三角形的三边分别是a,b,c,则c= sin20,b= sin40由余弦定理，原式=a=(2sin120)=九、 向量（平面向量，空间向量）利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），建立坐标系，写出坐标，可以“以数定形”。例10如图所示，P是正方形的ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证:（1）.PA=EF（2）.PAEF建立如图的坐标系，设正方形的边长是1，=,则A(0,1),P(,),E(,0),F(1, )=(-,1-) =(-1,- )(1).=(-)+(1-) =-+1 =(-1)+ (-) =-+1 =，即PA=EF（2）. (-)(-1)(1-)(-) 0 ，即PAEF例11如图所示，在棱长为1的正方形ABCD-ABCD中，E,F分别是DD,BD的中点，G在棱CD上，且CGCD,H是CG的中点，1 求证：EFBC2 求证：EF与C G所成角的余弦值3 求FH的长解：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，E(0,0, ) F(,0) C(0,1,0) D(0,1,1)B(1,1,1) G(0, ,0)(1).证明： =(,-) =(-1,0,-1)=(-1)+ 0+(-1)=0 EFBC(2). =(0,- ,-1)=由（1）得 cos=(3). H是C G的中点H(,)即H（0，）又F(,0)FH=点评：利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。十复平面借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。例12如果复数z满足z+i+z-i=2,那么z+i+1的最小值是（ ）A.