2020年高考数学40个考点总动员 考点29 圆锥曲线的方程与几何性质（教师版） 新课标

2020年新课标数学40个考点总动员 考点29 圆锥曲线的方程与几何性质（教师版）【高考再现】热点一 椭圆的方程与几何性质1.(2020年高考新课标全国卷理科4)设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 2.(2020年高考山东卷理科10)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x-y1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为3(2020年高考全国卷理科3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为A B C D4. (2020年高考江西卷理科13)椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，.又已知，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为. 5.(2020年高考四川卷理科15)椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。2求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系3求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围离心率e与a、b的关系：e21.热点二 双曲线的方程与几何性质7.(2020年高考全国卷理科8)已知为双曲线的左右焦点，点在上，则A B C D8.(2020年高考浙江卷理科8)如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF2|F1F2|，则C的离心率是A BC D令y0得：xM又|MF2|F1F2|2c，3cxM，解之得：，即e9.(2020年高考福建卷理科8)双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A B C3 D5 10.(2020年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 11.(2020年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1w#ww.zz&【答案】A12.（2020年高考江苏卷8）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 【答案】【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在轴上（否则不成立），因此，由离心率公式得到，解得 .13.(2020年高考湖北卷理科14)如图，双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则（）双曲线的离心率e=_；（）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.【答案】（）；（）【解析】（）在中,整理得,即,解得,即;（）由图分析可知,面积之比为=.【方法总结】1双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2ny21(mn0)或m，故离心率有两种可能.热点三 抛物线的方程与几何性质14.(2020年高考四川卷理科8)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、15.(2020年高考安徽卷理科9)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（ ） 16.(2020年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 .【答案】【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此17.(2020年高考重庆卷理科14)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。【答案】【解析】设. 18.(2020年高考辽宁卷理科15)已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为_。19.(2020年高考陕西卷理科13)右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0）， 设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2） 设抛物线的解析式为，则有， 抛物线的解析式为 水位下降1米，则y=-3，此时有或 此时水面宽为米.【方法总结】1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即2抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离3抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用注意定义在解题中的应用.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用. 【考点剖析】一明确要求1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，理解它的简单的几何性质.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二命题方向1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.2.双曲线的定义，标准方程及几何性质是命题的热点题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度中等偏低，解答题很少考查直线与双曲线的位置关系但个别省份也偶有考查.3.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活选择、填空题，又有综合性较强的解答题.三规律总结两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴一条规律双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值三个防范(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是yx，1(a0，b0)的渐近线方程是yx.一个结论焦半径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.【基础练习】1(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1或1 D以上都不对解析2a2b18，ab9，又2c6，c3，则c2a2b29，故ab1，从而可得a5，b4，椭圆的方程为1或1.答案C2(人教A版教材习题改编)双曲线1的焦距为()A3 B4 C3 D43(人教A版教材习题改编)抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8解析由2p8得p4，即焦点到准线的距离为4.答案C4(经典习题)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析若a29，b24k，则c ，由即，得k；若a24k，b29，则c ，由，即，解得k21.答案C5.(经典习题)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D126. (经典习题)设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于_【名校模拟】一基础扎实1.(2020云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)抛物线的焦点坐标是 （A） （B） （C） （D）解：的焦点坐标是.故选（B）. 2.(北京市西城区2020届高三下学期二模试卷文)已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）3.(2020年云南省第一次统一检测理)抛物线的准线方程是（A） （B） （C） （D）解：，.的准线方程是,抛物线的准线方程是.故选（B）.4.(长春市实验中学2020届高三模拟考试（文）)设F是抛物线的焦点，A,B是抛物线上两点，若线段AB的中点到y轴的距离为，则等于 5.(山西省2020年高考考前适应性训练文)已知椭圆和双曲线有相同的焦点，则椭圆和双曲线离心率的平方和为（ ） A B C2 D3【答案】A 【解析】依题意得知，即，因此该椭圆与双曲线的离心率分别是、，该椭圆与双曲线的离心率的平方和等于，选A.6.【2020学年浙江省第二次五校联考理】过双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的渐近线方程为（A） （B） （C） （D） 【解析】过右焦点的直线为，设其与交于A，且；设其与交于B，且；由知：A为线段BF2中点，故有：，即：【答案】A7.（宁波四中2020学年第一学期期末考试理）设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 (A) (B) (C) (D) 8.(河南省郑州市2020届高三第二次质量预测文)若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成7 ：3的两段，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.答案：B 解析：依题意得知，即（其中是双曲线的半焦距），因此该双曲线的离心率等于，选B. 9.(2020年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)过双曲线的右焦点F作圆的切线FM(切点为M)，交y轴于点R若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是(A)2 (B) (C) (D)【答案】B 【解析】 依题意得知，因此双曲线的离心率等于，选B.10(2020东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】 设双曲线方程为，半焦距为。根据已知即，即，解得。11.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）)若双曲线的左、右顶点分别是,线段 被的焦点分为3:1两段, 则此双曲线的离心率为 二能力拔高 12.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得，将直线化为一般式方程，所以点（-1，0）到直线的距离为，同理点（1，0）到直线的距离为，因为双曲线中，所以又点点（-1，0）与点（1，0）到直线的距离之和，即，所以，将代入上式，整理得，即，解得，故选A。13.（湖北省黄冈中学2020届高三五月模拟考试理）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在答案：D 解析：由题意得，转化到准线的距离为3，根据抛物线的定义知，点A、B到准线的距离之和等于弦长AB，即，又抛物线的通径长为，即,所以这样的直线不存在，故选D。14.(湖北省武汉市2020届高中毕业生五月供题训练（二）理)如右图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则ABC D答案：C 解析：由题意得，又，则 所以， 当， 所以或，又，所以，故选C。15.(湖北武汉2020毕业生五月供题训练（三）文)设F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且|PF1|=|PF2|，则的值为A2 B C3 D 所以，所以，故选A。.16. (七校联考 数学试卷文)椭圆上有个不同的点，是右焦点，组成公差大于的等差数列，则的最大值为（ ）A B C D答案：D 解析:，因为，所以，进而有：，若使的值最大，只需最大，即使最大，而，的最大值为200，故选D17. (2020年高三教学测试（二）理)设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，与双曲线的其中一个交点为，设为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为A B C D【解析】，代入，得，代入双曲线方程，得，即可得【答案】C18. (2020年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)设拋物线的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在拋物线上，且点B到拋物线准线的距离为，则点A的坐标为(A)(0，) (B)(0，2) (C)(0，) (D)(0，4)，即点的坐标是，选A. 19.(2020北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】根据椭圆的对称性可知，设是关于原点的对称点，也在椭圆上，故显然当和为短轴的两个端点时，取得最小值为2b=2.(2020届高三年级第二次综合练习文)已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为A B C D【答案】C【解析】焦点，在中，故选C20.(仙桃市2020年五月高考仿真模拟试题理)已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点，满足，则的值为 A、1 B、1 C、2 D、3又双曲线左准线为，离心率故选B21.(湖北省八校2020届高三第一次联考文)已知直线与抛物线交于A、B两点，F为C的焦点，若（ ）ABCD答案：B 解析：由题意得，抛物线的准线方程为，设，根据抛物线的定义得，则， 又，整理得， 联立得，代入抛物线方程得，即， 代入直线方程得。64. 22.（江西2020高三联合考试文A. B. C. D. 2【答案】B【解析】焦点，公共弦AB方程为，所以，即，解得，选B。23.(2020年长春市高中毕业班第二次调研测试文)是双曲线的两个焦点，过点作与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，满足，则的值为_.24. (2020年长春市高中毕业班第二次调研测试理)为双曲线的左右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】由双曲线的性质可推得，则在中，由余弦定理可知，又，可得，即，因此渐近线方程为25.(2020年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知动圆的圆心C在抛物线.上，该圆经过点A(0，P),且与x轴交于两点M、N，则的最大值为. _|MN|=|x1-x2|=2p|CM|=|CN|= = cosMCN=-2p2+2y02 2p2+2y02 =1-2p2 p2+y02 -1cosMCN1，0MCN，0sinMCN1，sinMCN的最大值为1故答案为：126. (2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理)己知F1 F2是椭圆（ab0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为_.答案：27(河北省唐山市2020学年度高三年级第二次模拟考试理)过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF| =2|BF|=6，则p= 。【答案】4【解析】设A（x1,y1）B(x2,y2) 由题意得，所以，所以，所以，因为，即所以p=428.（2020年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）抛物线的焦点为，则经过点、且与抛物线的准线相切的圆的个数为 三提升自我29.(湖北省武汉外国语学校钟祥一中2020届高三4月联考文)已知双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为,则该双曲线离心率的值为（ ）ABCD答案：D 解析：由题意得，设弦的两个端点坐标分别为， 代入双曲线的方程并整理得， 将斜率为1的直线，弦的中点为， 代入得，故选D。30.(2020云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知椭圆:的长轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，如果的面积等于，那么( )（A） （B） （C） （D）31.(2020年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出