2012天津高考数学理科

2012天津理一、选择题 i是虚数单位,复数=（）A2+iB2-iC-2+iD-2-i 设,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,当输入的值为-25时,输出的值为 （）A-1B1 C3D9 函数在区间(0,1)内的零点个数是（）A0B1C2D3 在的二项展开式中, 的系数为（）A10B-10C40D-40 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=（）AB-CD 已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),.若=-,则=（）ABCD 设m,n,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是（）A1-,1+B(-,1- 1+,+) C2-2,2+2D(-,2-2 2+2,+)二、填空题 某地区有小学150所,中学75所,大学25所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取_所学校,中学中抽取_所学校.一个几何体的三视图如图1-2所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.图1-2已知集合A=xR|x+2|3,集合B=xR|(x-m)(x-2)0,焦点为F,准线为.过抛物线上一点M作的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=_.如图1-3所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为_.图1-3已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是_.三、解答题已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲乙游戏的人数,记=|X-Y|,求随机变量的分布列与数学期望E.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)证明PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E与棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长.已知 是等差数列,其前n项和为, 是等比数列,且= =2, + =27, -=10.(1)求数列 与 的通项公式;(2)记Tn=+ +,n,证明Tn+12=2+10 (n).设椭圆(b0)的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|.已知函数的最小值为0,其中0.(1)求的值;(2)若对任意的0,+),有成立,求实数的最小值;(3)证明 (n).2012天津理参考答案一、选择题 B A C B D A A 【解析】=，=，又，且，所以，解得. D 二、填空题 18 9 18+9 -1,1 2 (0,1)(1,4) 三、解答题解:(1)f(x)=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin. 所以,f(x)的最小正周期T=. (2)因为f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数,又f=-1,f=,f=1,故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1. 解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=Ci4-i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=C22=. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3A4, 由于A3与A4互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)=C3+C4=. 所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. (3)的所有可能取值为0,2,4. 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(=0)=P(A2)=, P(=2)=P(A1)+P(A3)=, P(=4)=P(A0)+P(A4)=. 所以的分布列是024P随机变量的数学期望E=0+2+4=. 解:方法一:如图所示,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2). (1)易得=(0,1,-2),=(2,0,0),于是=0,所以PCAD. (2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD的法向量=(x,y,z), 则即 不妨令z=1, 可得=(1,2,1). 可取平面PAC的法向量=(1,0,0). 于是cos=,从而sin=.所以二面角A-PC-D的正弦值为. (3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h0,2.由此得=,由=(2,-1,0),故 cos=, 所以,=cos30=,解得h=, 即AE=. 方法二:(1)由PA平面ABCD,可得PAAD. 又由ADAC,PAAC=A,故AD平面PAC, 又PC平面PAC,所以PCAD. (2)如图所示,作AHPC于点H,连接DH. 由PCAD,PCAH,可得PC平面ADH,因此DHPC,从而AHD为二面角A-PC-D的平面角. 在RtPAC中,PA=2,AC=1,由此得AH=. 由(1)知ADAH.故在RtDAH中,DH=.因此sinAHD=.所以二面角A-PC-D的正弦值为. (3)如图所示,因为ADC45,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF.故EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角. 由BFCD,故AFB=ADC. 在RtDAC中,CD=,sinADC=, 故sinAFB= . 在AFB中,由=,AB=, sinFAB=sin135=,可得BF=. 由余弦定理,BF2=AB2+AF2-2ABAFcosFAB,可得AF=. 设AE=h. 在RtEAF中,EF=. 在RtBAE中,BE=. 在EBF中,因为EFb0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14,因此k23,所以|k|. (方法二)依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0).由点P在椭圆上,有+=1.因为ab0,kx00,所以+1, 即(1+k2)xa2. 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x=a2,整理得(1+k2)x+2ax0=0,于是x0=,代入,得(1+k2)3,所以|k|. 解:(1)f(x)的定义域为(-,+). f(x)=1-=. 由f(x)=0,得x=1-a-a. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: -0+极小值 因此,f(x)在x=处取得最小值, 故由题意f()= =0,所以=1. (2)当k0时,取x=1,有f(1)=1-ln20, 故k0不合题意. 当k0时,令g(x)=f(x)-kx2, 即g(x)=x-ln(x+1)-kx2. g(x)=-2kx=. 令g(x)=0,得x1=0,x2=-1. 当k时, 0,g(x)0在(0,+)上恒成立,因此g(x)在0,+)上单调递减,从而对任意的x0,+),总有g(x)g(0)=0,即f(x)kx2在0,+)上恒成立,故k符合题意. 当0k0, 对于x,g(x)0,故g(x)在内单调递增,因此当取x0时,g(x0)g(0)=0,即f(x0)kx不成立,故0k不合题意. 综上,k的最小值