2020-2021学年高中数学 第2章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教A版必修3

2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征学习目标核心养心1.将计算样本的模式、中位数、平均值、标准差和方差。2.理解通过使用样本的数字特征来估计整体数字特征的方法。(关键)3.将运用相关知识解决实际的统计问题。(困难)1.通过计算数字特征，提高数学运算的质量。2.通过实际统计问题的应用培养数学建模素养。1.模式、中位数和平均值的概念(1)模式：一组数据中出现的次数。(2)中位数：一组数据中间按大小顺序排列的数字。如果数字是偶数，取中间两个数据的平均值。(3)平均值：一组数据的总和除以数据的数量。2.三种数字特征的比较名字优势不足之处方式(1)反映样本数据的最大浓度点；(2)计算简单(1)它只能表达样本数据中的一小部分信息；(2)不能客观地反映整体特征中位数(1)不受少数极端数据(即排在前面或后面的数据)的影响；(2)易于计算，易于使用中间数据的信息对极端值不敏感平均的代表性是反映数据集中趋势的数量。一般来说，它能反映整个样本数据的更多信息。任何数据的变化都会导致平均值的变化。数据越“离群”，对平均值的影响就越大。3.标准差和方差的概念及计算公式(1)标准偏差：标准差是从样本数据到平均值的平均距离，通常用s表示，s=。(2)差异：标准差的平方s2称为方差。s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2。其中，xn是样本数据，n是样本容量，n是样本平均值。思考：统计中计算方差的目的是什么？提示方差和标准差描述了一组数据在平均值附近的波动。值越大，数据分散的程度就越大。当该值为0时，意味着样本中的所有数据都是相等的，没有分散。1.为了评价作物的种植效果，选择了n块地作为试验地。这些n块地的每亩产量(单位：千克)是x1，x2，xn。在下面给出的指标中，可以用来评价这种作物每亩产量稳定性的指标是()a.a1，x2，xnb.b.x1，x2，xnx1，x2，xnd.x1，x2的中值，xn标准差可以反映一组数据的稳定性。2.数据101、98、102、100、99的标准偏差为()a.b.0c.1d.2a =(101+98+102+100+99)=100。s=.3.10工人每天生产相同的零件，生产的零件数量为15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，假设平均数量为a，中间数量为b，模式数量为c，则有()a.abcb.bcac.cabd.cba将数据从小到大排列为10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，然后中值b=15，模式c=17。平均值a=(10 12 142 152 16 173)=14.7。显然a=d，s=s0.5，样本数据的中位数是1 500=1 900元。(3)平均样本数为(7500.000 2 1250.000 4 17500.000 5 2500.000 5 275.000 3 325.000 1)500=1 900(元)。1.(可变条件)一所学校从参加高中二年级学业水平测试的学生中抽取了80名学生。他们数学分数的频率分布直方图(都是整数)如图所示。(1)找出这次考试中数学成绩的中位数。(2)寻求该测试的平均分数。解 (1)从图中，让中值为x。由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.30.40.5，中值位于第四个矩形面积，得出0.1=0.03 (x-70)，因此x73.3。(2)从图中知道数学的平均分数分为：0.00510+0.01510+0.0210+0.0310+0.02510+0.00510=72。2.(可变结论)这种情况的条件没有改变。(1)如果通过分层抽样选择10，000人中的一部分，并分析居民收入与幸福指数之间的关系，就知道选择了40人，月收入为2，000，2，500。每月收入为3，000，3，500的人应该选多少？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的模式数。(1)因为(0.0002 0.0004 0.0003 0.0001)500=0.5。所以a=0.0005。因此，2，000，2，500内的月收入频率为0.000 5500=0.25。新样本的容量是=160(人)。月收入在3，000，3，500以内：160 (0.000，1500)=8(人)。(2)图中显示模式为2000元。用频率分布直方图估计模式、中值和平均值(1)模式：以最高小矩形底边中点的横坐标为模式。(2)中值：在频率分布直方图中，将频率分布直方图分为等面积左右两部分的分界线与x轴交点之间的横坐标称为中值。(3)平均值：平均值是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积之和乘以小矩形底边中点的横坐标。1.一组数据中可能有多个模式，并且中位数是唯一的。当找到中位数时，你必须首先对它进行排序。2.利用频率分布直方图寻找数字特征(1) mode是最高矩形底边的中点。(2)中值左侧和右侧的直方图面积应该相等。(3)平均值等于每个小矩形面积的总和乘以小矩形底边中点的横坐标。3.标准差的平方s2称为方差。方差有时被用来代替标准偏差来测量样本数据的离散程度。方差和标准差的测量结果是一致的，标准差通常用于实际应用中。1.判断下列结论是对还是错(勾选“正确”和“不正确”)(1)在一组样本数据中，模式必须是唯一的。()(2)中位数是样本数据中的中间数。(3)方差越小，数据越不离散。()回答 (1) (2) (3)2.下列说法，是不正确的()a数据2、4、6、8的中位数是4、6数据1，2，2，3，4，4的模式是2，4一组数据的平均值、模式和中位数可能是相同的数据。如果8个数据的平均值是5，而其他3个数据的平均值是7，则这11个数据的平均值是数据2，4，6和8的中位数是=5，a是错误的，b，c和d都是正确的。3.一组样本数据a、3、5和7的平均值是b，a和b是方程x2-5x 4=0的两个根，那么这个样本的方差是()a.3b.4c.5d.6c x2-5x 4=0中的两个是1，4，当a=1时，a，3，5，7的平均值是4；当a=4时，a，3，5，7的平均值不是1，所以a=1，b=4，s2=5。4.在高中二年级的一次数学试听中，由于a和b都有相同的竞赛成绩，所以决定根据平时在相同条件下进行的六次测试来确定最佳候选人。这六项测试的结果数据如下：a127138130137135131b133129138134128136找出他们成绩的平均值和方差，分析他们成绩的稳定性，选择一个参加数学竞赛。解假设a和b的平均分数分别为a和b，方差分别为s和s。那么a=130 (3 8 0 7 5 1