2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十二 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理 北师大版

核心素养测评五十二 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin +cos =0,则a,b满足 ()a.a+b=1b.a-b=1 c.a+b=0 d.a-b=0【解析】选d.因为sin +cos =0,所以tan =-1.又因为为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-ab,所以-ab=-1,即a-b=0.2.已知线段pq两端点的坐标分别为p(-1,1)和q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段pq有交点,则实数m的取值范围是()a.-2,32b. (-,-232,+c.-32,2d.-,-322,+)【解析】选d.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点r(0,-1),直线pr的斜率k1=1-(-1)-1-0=-2,直线qr的斜率k2=2-(-1)2-0=32.因为直线l与线段pq有交点,所以斜率k32或k-2.又因为k=-m,所以m-32或m2.3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线3x-y=33的倾斜角的2倍,则()a.m=-3,n=1b.m=-3,n=-3c.m=3,n=-3d.m=3,n=1【解析】选d.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-3n,即-3n=-3,n=1.因为3x-y=33的倾斜角为60,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线3x-y=33的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120,即-mn=-3,m=3.4.直线l经过点a(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()a.-1k1或k1或k12或k-1【解析】选d.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-2k,则-31-2k12或k-1.5.如果ac0,且bc0,那么直线 ax+by+c=0不通过()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选c.由题意知,a,b同号,所以直线ax+by+c=0的斜率k=-ab0,所以,直线不通过第三象限.6.经过点a(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()a.x+y+1=0b.4x+3y=0c.x-y-7=0或4x+3y=0d.x+y+1=0或4x+3y=0【解析】选d.设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a.(1)当a=0时,直线过(0,0),此时方程为4x+3y=0.(2)当a0时,直线方程为xa+ya=1.又因a(3,-4)在直线上,所以3a+-4a=1,解得a=-1,故直线方程为x+y+1=0.综上选d.7.直线xsin +y+2=0的倾斜角的取值范围是()a.0,)b.0,434,c.0,4 d.0,4 2,【解析】选b.由题意知,直线的斜率存在.因为直线xsin +y+2=0的斜率k=-sin ,又-1sin 1,所以-1k1.设直线xsin +y+2=0的倾斜角为,所以-1tan 1,而0,),故倾斜角的取值范围是0,434,.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线2x+by+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则b=_.【解析】由已知c0,所以直线不过原点,且斜率应为1,所以b=2.答案:29.已知点a(-1,t),b(t,4),若直线ab的斜率为2,则实数t的值为_.【解析】由题意知,kab=2,即4-tt+1=2,解得t=23.答案:2310.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知abc的顶点a(2,0),b(0,4),ac=bc,则abc的欧拉线方程为_.【解析】由题意,线段ab的中点为m(1,2),kab=-2,所以线段ab的垂直平分线为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,因为ac=bc,所以abc的外心、重心、垂心都位于线段ab的垂直平分线上,因此abc的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案:x-2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycos +3=0(r),则直线l的倾斜角的取值范围是()a.0,)b.4,2c.4,34d.4,22,34【解析】选c.当cos =0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为2;当cos 0时,由直线l的方程,可得斜率k=-1cos.因为cos -1,1且cos 0,所以k(-,-11,+),即tan (-,-11,+),又0,),所以4,22,34,综上知,直线l的倾斜角的取值范围是4,34.2.(5分)(2020西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是()a.0b.2c.2d.1【解析】选d.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和1a,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+1a2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点_.【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由x+y=0,-2x+y+6=0,解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2).答案:(2,-2)4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(ar).(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.所以a-2a+1=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以-(a+1)0,a-20或-(a+1)=0,a-20,所以a-1.综上可知a的取值范围是(-,-1.5.(10分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证:不论m为何实数,直线l过一定点m.(2)过定点m作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被m点平分,求直线l1的方程.【解析】(1)直线l的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3)=0,由2x+y=-4,x-2y=3,解得x=-1,y=-2,所以不论m为何实数,直线l过定点m(-1,-2)