2021版高考数学一轮复习 核心素养测评四十 数列的求和 理 北师大版

核心素养测评四十 数列的求和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列an的通项公式是an=1n+n+1,若前n项和为10,则项数n为()a.120b.99c.11d.121【解析】选a.an=1n+n+1=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n,所以a1+a2+an=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1=10.即n+1=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列an的通项公式是an=2n-315n,则其前20项和为()a.380-351-1519b.400-251-1520c.420-341-1520d.440-451-1520【解析】选c.令数列an的前n项和为sn,则s20=a1+a2+a20=2(1+2+20)-315+152+1520=220(20+1)2-3151-15201-15=420-341-1520.3.已知等比数列an,a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+anan+1k,则k的取值范围是()a.12,23b.12,+c.12,23d.23,+【解析】选d.设等比数列an的公比为q,则q3=a4a1=18,解得q=12,所以an=12n-1,所以anan+1=12n-112n=122n-1,所以数列anan+1是首项为12,公比为14的等比数列,所以a1a2+a2a3+anan+1=121-14n1-14=231-14n0nn*.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=3n(2n-1)nannn*,记数列bn的前n项和为tn,证明:tn32.【解析】(1)当n=1时,2s1=a1-1a1+2=2a1,因为a10,所以a1=2,当n2时,2an=2sn-sn-1=an-1an+2-an-1-1an-1+2,所以an+an-1an-an-1-1=0,因为an0,所以an-an-1-1=0,所以an-an-1=1,所以an是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以an=n+1nn*;(2)由(1)得an=n+1,所以bn=3n2n-1nn+1=3n+1n+1-3nn,所以tn=b1+b2+bn-1+bn=322-3+333-322+3nn-3n-1n-1+3n+1n+1-3nn=3n+1n+1-3,因为tn+1-tn=3n+2n+2-3n+1n+1=3n+12n+1n+1n+20,所以tn是递增数列,所以tnt1=92-3=32.10.已知数列an的各项均为正数,且an2-2nan-(2n+1)=0,nn*.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=2nan,求数列bn的前n项和tn.【解析】(1)由an2-2nan-(2n+1)=0得an-(2n+1)(an+1)=0,所以an=2n+1或an=-1,又数列an的各项均为正数,负值应舍去,所以an=2n+1,nn*.(2)因为bn=2nan=2n(2n+1),所以tn=23+225+237+2n(2n+1),2tn=223+235+2n(2n-1)+2n+1(2n+1),由-得-tn=6+2(22+23+2n)-2n+1(2n+1)=6+222(1-2n-1)1-2-2n+1(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).所以tn=(2n-1)2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+a10=()a.15b.12c.-12d.-15【解析】选a.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=35=15.【变式备选】已知数列an的前n项和为sn,通项公式an=n(-1)n+1,则s17=()a.10b.9c.8d.7【解析】选b.s17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选b.s17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=(1+3+17)-(2+4+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列an的首项为32,公比为-12,其前n项和为sn,则sn的最大值为()a.34b.23c.43d.32【解析】选d.因为等比数列an的首项为32,公比为-12,所以sn=321-12n1-12=1-12n,当n取偶数时,sn=1-12n0,解得q=2,所以bn=2n.设等差数列an的公差为d,由b3=a4-2a1可得3d-a1=8,由s11=11b4可得a1+5d=16,联立解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为tn,由a2n=6n-2得tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减得:-tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=12(1-2n)1-2-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.所以tn=(3n-4)2n+2+16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.1.已知数列an中,a1=2,点an,an+1在函数fx=x2+2x的图像上,其中n=1,2,3,.若bn=1an+1an+2,数列bn的前n项和为sn,则s2 020+2a2 021= ()a.2 020b.20c.2d.1【解析】选d.因为点an,an+1在函数fx=x2+2x的图像上,所以an+1=an2+2an,所以1an+1=121an-1an+2,所以bn=2an-2an+1,所以sn=b1+b2+bn=2a1-2a2+2a2-2a3+2an-2an+1=2a1-2an+1,所以sn+2an+1=2a1=1,则s2 020+2a2 021=1.2.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2an2=an-12+an+12(n2),bn=1an+an+1,数列bn的前n项和为sn,则s33的值是_.【解析】因为2an2=an-12+an+12(n2),所以数列an2是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以an2=1