2021版高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.6 幂函数与二次函数练习 理 北师大版

2.6 幂函数与二次函数核心考点精准研析考点一幂函数的图像与性质1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm2-6m+8在(0,+)上为增函数,则m的值为 ()a.1或3b.1c.3d.22.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图像如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()a.dcbab.abcdc.dcabd.abdc3.(2019全国卷)若ab,则()a.ln(a-b)0b.3a0d.|a|b|4.设a=2313,b=1323,c=1313,则a,b,c的大小关系为()a.acbb.abcc.cabd.bca【解析】1.选b.由题意知m2-4m+4=1,m2-6m+80,解得m=1.2.选b.由幂函数的图像可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图像越接近x轴,由题图知abcd.3.选c.当a=3,b=2时,选项a错.由于ab,而y=3x是增函数,所以3a3b,故b错.当a=3,b=-5时,选项d错.因为y=x3是增函数,故a3b3.4.选a.因为013231,指数函数y=13x在r上单调递减,故13231313,所以132313132313,即bca.1.幂函数图像的特点掌握幂函数图像只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据0,01的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.【秒杀绝招】题3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,则可排除选项a,b,d.考点二二次函数的图像与解析式【典例】1.设函数f(x)=x2+x+a(a0),已知f(m)0d.f(m+1)0,所以f(x)的大致图像如图所示,由f(m)0,得-1m0,所以f(m+1)f(0)0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以b2=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a0),所以f(x)=ax2+2ax,由4a0-4a24a=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系数法求二次函数的解析式关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0).(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).1.对数函数y=logax(a0且a1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图像可能是()【解析】选a.若0a1,则y=logax在(0,+)上是增函数,y=(a-1)x2-x图像开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此b项不正确,只有选项a正确.2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,br,a0),xr,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.【解析】设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考点三二次函数的性质及其应用命题精解读1.考什么:(1)幂函数的图像与性质,二次函数的图像与性质,求值或解不等式,求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:幂函数、二次函数的单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.3.新趋势:幂函数、二次函数与其他基本初等函数交汇,图像交点个数、方程、不等式交汇考查.学霸好方法一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且f(-2)f(4)b.f(4)f(5)f(-2)c.f(4)f(-2)f(5)d.f(-2)f(4)f(5)【解析】选b.因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图像关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图像开口向下,所以函数f(x)在4,+)上是减函数,因为45f(5)f(10),即f(4)f(5)f(-2).二次函数中的恒成立问题【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xr恒成立,则a的取值范围是()a.(-,2b.-2,2c.(-2,2d.(-,-2)2.若关于x的不等式x2-4xm对任意x(0,1恒成立,则m的取值范围为.【解析】1.选c.当a-2=0即a=2时,不等式为-40,恒成立.当a-20时,a-20,0,解得-2a2,所以a的取值范围是-21,即a-2时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此时m-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若12-a21,即-2a-1时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f-a2=b-a24,此时m-m=b-b-a24=a24.(3)若0-a212,即-1af(cx)d.与x有关,不确定【解析】选a.由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以b=2,又f(0)=3,所以c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-,1)上单调递减,在1,+)上单调递增.若x0,则3x2x1,所以f(3x)f(2x);若x0,则3x2xf(2x).所以f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).3.(2019南昌模拟)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间0,2上的最大值为1,那么实数a=.【解析】因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以-a4-3a,-a=1或-a4-3a,4-3a=1,解得a=1.答案:1(2020北京模拟)已知集合a,b,c=2,3,4,且下列三个关系:a3,b=3,c4有且只有一个正确,则函数f(x)=2x,xb,(x-c)2+a,xb的值域是.【解析】由a,b,c=2,3,4得,a,b,c的取值有以下情况:当a=2时,b=3,c=4时,不满足题意.当a=2时,b=4,c=3时,不满足题意;当a=3时,b=2,c=4时,不满足题意;当a=3时,b=4,c=2时,满足题意;当a=4时,b=2,c=3时,不满足题意;当a=4时,b=3