2021高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 不等关系与不等式教学案 理 新人教A版

7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，br)(2)作商法 (ar，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nn，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nn，n2)a，b同为正数概念方法微思考1若ab，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？提示不确定若ab，ab0，则0b，则，即正数大于负数2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如21，13.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)ab0，cd0.()题组二教材改编2若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析0aba2b2，但a2b200.3设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()aacbdbacbddadbc答案c解析由同向不等式具有可加性可知c正确题组三易错自纠4若ab0，cd0b.d.答案d解析cd0，0dc，又0ba，bdac，又cd0，即.5设a，br，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212.即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b.所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件故选a.6若，则的取值范围是_答案(，0)解析由，得0.比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为()apqdpq答案b解析(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pb0，比较aabb与abba的大小解ab，又ab0，故1，ab0，ab1，即1，又abba0，aabbabba，aabb与abba的大小关系为aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论跟踪训练1(1)已知pr，m(2p1)(p3)，n(p6)(p3)10，则m，n的大小关系为_答案mn解析因为mn(2p1)(p3)(p6)(p3)10p22p5(p1)240，所以mn.(2)若a0，且a7，则()a77aa7aa7d77aa与7aa7的大小不确定答案c解析77aaa77a，则当a7时，01,7a1，77aa7aa7；当0a1,7a0，则7a1，77aa7aa7.综上，77aa7aa7.不等式的基本性质例2(1)(2019武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是()a若ab，则ac2bc2b若ab，cc若ab，cd，则acbdd若ab0，ab，则答案d解析对于a选项，当c0时，不成立，故a选项错误；当a1，b0，c2，d1时，故b选项错误；当a1，b0，c1，d0时，acbd，故c选项错误，故d选项正确(2)若0，则下列结论不正确的是()aa2b2babb2cab|ab|答案d解析由题意可知bab，cd，则acbd；若ab，cd，则bcad；若ab，cd，则acbd；ab，c0，则acbc.其中正确命题的序号是()abcd答案b解析ab，cd，由不等式的同向可加性得acbd，故正确；由正确，可知不正确；取42，13，则4(1)b，c0，acbc.故正确综上可知，只有正确故选b.(2)若0，则下列不等式：ab|b|；ab；abb2中，正确的不等式有_(填序号)答案解析因为0，所以ba0，ab0，所以abab，|a|b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以aba0，cd，下列不等式正确的是()adaadd.答案d解析取a2，b4，c3，d2，da0，cb1，此时dacb，a错误；取a2，b3，x1，则，2，此时，b错误；取b3，a，c1，d3，ad8，则bcad，c错误；对于d, 0，d正确故选d.命题点2求代数式的取值范围例4已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.若将本例条件改为1xy4,2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2ya0，cr，则下列不等式中不一定成立的是()ab.ccc.dac2c；因为0，所以；当c0时，ac2bc2，所以d不成立故选d.(2)(2019潮州模拟)已知1xy1,1xy3，则8xy的取值范围是()a2,28b.c2,27d.答案c解析8xy23xy23xy，令3xys(xy)t(xy)(st)x(st)y，则即3xy(xy)2(xy)，又1xy1，1xy3，22(xy)6.得13xy7.则8xy23xy2,27故选c.1对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()a若ab，c0，则acbcb若ab，则ac2bc2c若ac2bc2，则abd若ab，则答案c解析对于选项a，当cbc2，c0，c20，一定有ab.故选项c正确；对于选项d，当a0，b0时，不正确2设a，b，c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是()a.bac2da2abb2答案d解析对于a，令a2，b1，1，故a错误；对于b，当c0时，则ac2bc20，故b错误；对于c，令b1，a2，则，故c错误；对于d，abab且abb2，故d正确，故选d.3若ab0，则下列不等式中一定成立的是()aabb.cabd.答案a解析取a2，b1，排除b与d；另外，函数f (x)x是(0，)上的增函数，因为ab0，所以ab，即ab，a项成立；但函数g(x)x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当ab0时，g(a)g(b)未必成立，即c不一定成立，故选a.4(2019河北省衡水中学模拟)已知|a|bacbcc.0dln0答案d解析0，当c0，即ba0，|b|a|, acbc,0成立，即a，b，c成立；此时01，ln0时，a，b，c也正确故选d.5若b2b1bac.bea答案d解析由题意知，ba0，则a2a1，2，baeb0，ba0beaaeb，aebbea，故选d.6若，满足，则2的取值范围是()a20b2c2d02答案c解析，2.，2.又0，2.故2.7若ab；.答案解析对于，ab，故正确；对于，ab0，aab，故正确；根据幂函数的单调性可知正确；对于，abb20，0，则与的大小关系是_答案解析(ab).ab0，(ab)20，0.9(2019广西壮族自治区玉林高中模拟)近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)_(在横线上填甲或乙即可)答案乙解析由题意得甲购买产品的平均单价为，乙购买产品的平均单价为，由条件得ab.0，即乙的购买方式更优惠10已知有三个条件：ac2bc2；a2b2，其中能成为ab的充分条件的是_(填序号)答案解析由ac2bc2可知c20，即ab，故“ac2bc2”是“ab”的充分条件；当c0时，ab；当a0，b0时，ab的充分条件11(1)若bcad0，bd0，求证：；(2)已知cab0，求证：.证明(1)bcad，bd0，11，.(2)cab0，ca0，cb0.ab0，0，0，cb0，.12已知1a4,2b8，试求ab与的取值范围解因为1a4,2b8，所以8b2.所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即b且cd”是“acbdbcad”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析因为cd，所以cd0.又ab，所以两边同时乘(cd)，得a(cd)b(cd)，即acbdbcad.若acbdbcad，则a(cd)b(cd)，也可能ab且cb且cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件14(2019抚州临川第一中学模拟)设mlog0.30.6，nlog20.6，则()amnmnmnbmnmnmncmnmnmndmnmnmn答案b解析因为mlog0.30.6log0.310，nlog20.6log210，所以mn0，因为2log0.62log0.60.250，log0.60.30，而log0.60.25log0.60.3，所以0，即可得mn0，因为(mn)(mn)2n0，所以mnmn，所以mnmnmn.故选b.15设0bablnabalnbblnacaebbeadaebbea答案b解析观察a，b两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y，0x1.则y，可见函数y在(0,1)上单调递增所以，b正确对于c，d两项，引入函数f (x)，0x1，则f(x)0，所以函数f (x)在(0,1)上单调递减，又因为0ba1，所以f (a)f (b)，即bea，故选b.16(2019长沙市长郡中学调研)长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“队伍构成满足以下条件：(1)有中学高级教师；(2)中学教师不多于小学教师；(3)小学高级教师少于中学中级教师；(4)小学中级教师少于小学高级教师；(5)支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；(6)无论是否把我计算在内，以上条件都成立”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_答案小学中级解析设职称为小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数分别为a，b，c，d，则abcd13，d1，cdab，bc，ab，1