2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质教学案 理 新人教A版

9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据根与系数的关系及判别式解决问题.在高考中椭圆出现的次数最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出现.1.椭圆的概念平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c0，c0，且a，c为常数.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标a1(a，0)，a2(a，0)b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b，0)，b2(b，0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系a2b2c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若2a|f1f2|或2a|f1f2|，动点p的轨迹如何？提示当2a|f1f2|时动点p的轨迹是线段f1f2；当2a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等.()题组二教材改编2.椭圆1的焦距为4，则m等于()a.4b.8c.4或8d.12答案c解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.3.过点a(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()a.1b.1c.1d.1答案a解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4.已知点p是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点p及焦点f1，f2为顶点的三角形的面积等于1，则点p的坐标为_.答案或解析设p(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则f1(1，0)，f2(1，0).由题意可得点p到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以p点坐标为或.题组三易错自纠5.若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()a.(3，5)b.(5，3)c.(3，1)(1，5)d.(5，1)(1，3)答案c解析由方程表示椭圆知解得3m0)的离心率e，则m的值为_.答案3或解析若a25，b2m，则c，由，即，解得m3.若a2m，b25，则c.由，即，解得m.第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及其应用1.(2019河北保定模拟)与圆c1：(x3)2y21外切，且与圆c2：(x3)2y281内切的动圆圆心p的轨迹方程为_.答案1解析设动圆的半径为r，圆心为p(x，y)，则有|pc1|r1，|pc2|9r.所以|pc1|pc2|10|c1c2|6，即p在以c1(3，0)，c2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点p的轨迹方程为1.2.如图，abc的顶点b，c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是_.答案4解析a23，a.abc的周长为|ac|ab|bc|ac|cf2|ab|bf2|2a2a4a4.3.设点p为椭圆c：1(a2)上一点，f1，f2分别为c的左、右焦点，且f1pf260，则pf1f2的面积为_.答案解析由题意知，c.又f1pf260，|f1p|pf2|2a，|f1f2|2，|f1f2|2(|f1p|pf2|)22|f1p|pf2|2|f1p|pf2|cos604a23|f1p|pf2|4a216，|f1p|pf2|，|f1p|pf2|sin60.4.已知f是椭圆5x29y245的左焦点，p是此椭圆上的动点，a(1，1)是一定点，则|pa|pf|的最大值为_，最小值为_.答案66解析椭圆方程化为1，设f1是椭圆的右焦点，则f1(2，0)，|af1|，|pa|pf|pa|pf1|6，又|af1|pa|pf1|af1|(当p，a，f1共线时等号成立)，|pa|pf|6，|pa|pf|6.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)(2020湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为，过f2的直线与椭圆c交于a，b两点，若f1ab的周长为8，则椭圆方程为()a.1b.1c.y21d.1答案a解析如图，由椭圆的定义可知，f1ab的周长为4a，4a8，a2，又离心率为，c1，b23，所以椭圆方程为1.(2)(2019全国)已知椭圆c的焦点为f1(1，0)，f2(1，0)，过f2的直线与c交于a，b两点.若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则c的方程为()a.y21b.1c.1d.1答案b解析由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接f1a，令|f2b|m，则|af2|2m，|bf1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|f2a|a|f1a|，则点a为椭圆c的上顶点或下顶点.令oaf2(o为坐标原点)，则sin.在等腰三角形abf1中，cos2，因为cos212sin2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆c的方程为1，故选b.命题点2待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_.答案1解析设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.答案1解析方法一(待定系数法)：设所求椭圆方程为1(k|f1f2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用方程1与(0)有相同的离心率.与椭圆1(ab0)共焦点的椭圆系方程为1(ab0，kb20)恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.跟踪训练1(1)(2019福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为f1(，0)，f2(，0)，m是椭圆上一点，若mf1mf2，|mf1|mf2|8，则该椭圆的方程是()a.1b.1c.1d.1答案c解析设|mf1|m，|mf2|n，mf1mf2，|mf1|mf2|8，|f1f2|2，m2n220，mn8，(mn)236，mn2a6，a3.c，b2.椭圆的方程是1.(2)与椭圆1有相同离心率且经过点(2，)的椭圆标准方程为_.答案1或1解析方法一e，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则12.从而2，.又1，m28，n26.所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为1(mn0)，则1，且，解得m2，n2.故所求椭圆的标准方程为1.方法二若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为t(t0)，将点(2，)代入，得t2.故所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设方程为(0)代入点(2，)，得，所求椭圆的标准方程为1.椭圆的几何性质命题点1离心率例3(1)(2018全国)已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，a是c的左顶点，点p在过a且斜率为的直线上，pf1f2为等腰三角形，f1f2p120，则c的离心率为()a.b.c.d.答案d解析如图，作pbx轴于点b.由题意可设|f1f2|pf2|2，则c1，由f1f2p120，可得|pb|，|bf2|1，故|ab|a11a2，tanpab，解得a4，所以e.(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案d解析设椭圆的方程为1(ab0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|ob|a，所以|oa|a，所以点a的坐标为，又点a在椭圆上，所以1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以椭圆的离心率e.(3)已知f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点p，使f1pf290，则椭圆的离心率的取值范围是_.答案解析若存在点p，则圆x2y2c2与椭圆有公共点，则f1bf290(b为短轴端点)，即bca，即b2c2，a2c2c2，a22c2，e1.命题点2与椭圆有关的范围(最值)例4(1)已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为5，则b的值是_.答案解析由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|af2|bf2|ab|4a8，所以|ab|8(|af2|bf2|)3，当ab垂直于x轴时|ab|有最小值，则3.所以b23，即b.(2)(2017全国)设a，b是椭圆c：1长轴的两个端点.若c上存在点m满足amb120，则m的取值范围是()a.(0，19，)b.(0，9，)c.(0，14，)d.(0，4，)答案a解析方法一设焦点在x轴上，点m(x，y).过点m作x轴的垂线，交x轴于点n，则n(x，0).故tanambtan(amnbmn).又tanambtan120，且由1，可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0，19，).故选a.方法二当0m3时，焦点在x轴上，要使c上存在点m满足amb120，则tan60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使c上存在点m满足amb120，则tan60，即，解得m9.故m的取值范围为(0，19，).故选a.思维升华(1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：直接求出a，c，利用离心率公式e求解.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解.构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.跟踪训练2(1)(2019温州模拟)正方形abcd的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案b解析设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc.又正方形abcd的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，1e2，整理得e43e210，e2，0e1)上两点a，b满足2，则当m_时，点b横坐标的绝对值最大.答案5解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2，因为点a，b在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点b横坐标的绝对值最大，最大值为2.1.(2020长沙雅礼中学模拟)“2m6”是“方程1为椭圆”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b解析若方程1表示椭圆，则解得2m6且m4，所以2mb0)的离心率为，则()a.a22b2b.3a24b2c.a2bd.3a4b答案b解析由题意，得，又a2b2c2，4b23a2.故选b.3.若椭圆c：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案c解析依题意可知，cb，又ac，椭圆的离心率e.4.已知椭圆c：1(ab0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()a.1b.1c.1d.1答案b解析由题意知2a6，2c6，所以a3，c1，则b2，所以此椭圆的标准方程为1.5.(2020湖北八市重点高中联考)已知椭圆c：1(ab0)的右焦点为f，过点f作圆x2y2b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆c的离心率为()a.b.c.d.答案d解析如图，由题意可得，bc，则2b2c2，即2(a2c2)c2，则2a23c2，即e.6.已知f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，现以f2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点m，n，若过f1的直线mf1是圆f2的切线，则椭圆的离心率为()a.1b.2c.d.答案a解析过f1的直线mf1是圆f2的切线，f1mf290，|mf2|c，|f1f2|2c，|mf1|c，由椭圆定义可得|mf1|mf2|cc2a，椭圆的离心率e1.7.(2020广东华附、省实、广雅、深中联考)设f1，f2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点p，使线段pf1的中垂线过点f2，则椭圆离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案d解析设p，f1(c，0)，f2(c，0)，由线段pf1的中垂线过点f2得|pf2|f1f2|，即2c，得m24c222a23c20，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e2，又0e1，故eb0)的一个焦点为f1，若椭圆上存在一点p，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段pf1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为_.答案解析设线段pf1的中点为m，另一个焦点为f2，由题意知，|om|b，又om是f2pf1的中位线，|om|pf2|b，|pf2|2b，由椭圆的定义知|pf1|2a|pf2|2a2b.又|mf1|pf1|(2a2b)ab，又|of1|c，在rtomf1中，由勾股定理得(ab)2b2c2，又a2b2c2，可得2a3b，故有4a29b29(a2c2)，所以所求椭圆的离心率e.10.(2018阜阳模拟)已知f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点p使得pf1pf2，则该椭圆的离心率的取值范围是_.答案解析f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，离心率0e1，f1(c，0)，f2(c，0)，c2a2b2.设点p(x，y)，由pf1pf2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e|f1f2|，所以点m的轨迹是以f1，f2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点m的轨迹方程为1.12.如图所示，已知椭圆1(ab0)，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，a为椭圆的上顶点，直线af2交椭圆于另一点b.(1)若f1ab90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程.解(1)若f1ab90，则aof2为等腰直角三角形，所以有|oa|of2|，即bc.所以ac，e.(2)由题意知a(0，b)，f2(1，0)，设b(x，y)，由2，得解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.13.在平面直角坐标系xoy中，p是椭圆1上的一个动点，点a(1，1)，b(0，1)，则|pa|pb|的最大值为()a.5b.4c.3d.2答案a解析椭圆的方程为1.a