2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教学案 理 新人教A版

9.6双曲线最新考纲考情考向分析1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.知道双曲线的简单几何性质.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1.双曲线的概念平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c2a，其中a，c为常数且a0，c0.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a|f1f2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|f1f2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段f1f2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0,0ab0时，1e0时，e(亦称等轴双曲线)；当0a.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()题组二教材改编2.若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()a.b.5c.d.2答案a解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为()a.xy0b.xy0c.x2y0d.2xy0答案a解析椭圆c1的离心率为，双曲线c2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线c2的渐近线方程是yx，即xy0.4.经过点a(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点a(4,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5.已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为_.答案1或1解析由题意知a4，e2，c8，b2c2a2641648.因为双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.6.p是双曲线1上任意一点，f1，f2分别是它的左、右焦点，且|pf1|9，则|pf2|_.答案17解析由题意知a4，b9，c，由于|pf1|90时，2m4，m2；当m0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则c的方程为()a.1b.1c.1d.1答案b解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以c的方程为1.故选b.3.经过点p(3,2)和点q(6，7)的双曲线方程为_.答案1解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，解得双曲线方程为1.4.过双曲线c：1(ab0)的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点f为圆心、半径为4的圆经过a，o两点(o为坐标原点)，则双曲线c的标准方程为()a.1b.1c.1d.1答案a解析因为渐近线yx与直线xa交于点a(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值.注意双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2ny21(mn0)，其中当m0，n0，且mn时表示椭圆；当mn0)；(iii)已知渐近线为0的双曲线方程可设为(0).双曲线的几何性质命题点1渐近线例2(1)(2019包头青山区模拟)已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()a.1b.2c.3d.4答案d解析由已知，取顶点，渐近线3ymx0，则顶点到渐近线的距离为，解得m4.(2)(2020湖北八市重点高中联考)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右顶点分别为a，b，点p在曲线c上，若pab中，pbapab，则双曲线c的渐近线方程为_.答案yx解析如图，过b作bmx轴，pbapab，则pabpbm，pabpbx，即kpakpb1.设p(x，y)，又a(a,0)，b(a,0)，1，x2y2a2，ab，则双曲线c的渐近线方程为yx，思维升华求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0).命题点2离心率例3(1)(2019浙江)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()a.b.1c.d.2答案c解析因为双曲线的渐近线方程为xy0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足ab，所以ca，所以双曲线的离心率e.(2)(2019唐山模拟)设双曲线c：1(ab0)的两条渐近线的夹角为，且cos，则c的离心率为()a.b.c.d.2答案b解析ab0，渐近线yx的斜率小于1，两条渐近线的夹角为，cos.cos2，sin2，tan2，e2，e.(3)(2019全国)设f为双曲线c：1(a0，b0)的右焦点，o为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2y2a2交于p，q两点.若|pq|of|，则c的离心率为()a.b.c.2d.答案a解析如图，由题意知，以of为直径的圆的方程为2y2，将x2y2a2，得x，则以of为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以|pq|2.由|pq|of|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选a.(4)(2019全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点.若，0，则c的离心率为_.答案2解析因为0，所以f1bf2b，如图.因为，所以点a为f1b的中点，又点o为f1f2的中点，所以oabf2，所以f1boa，所以|of1|ob|，所以bf1of1bo，所以bof22bf1o.因为直线oa，ob为双曲线c的两条渐近线，所以tanbof2，tanbf1o.因为tanbof2tan(2bf1o)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.思维升华求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.跟踪训练2(1)(2019陕西汉中模拟)若双曲线x21(m0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是()a.2b.c.1d.4答案d解析双曲线x21(m0)的焦点设为(c,0)，当双曲线方程为1时，渐近线方程设为bxay0，可得焦点到渐近线的距离db，故由题意可得bm4.(2)(2019安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线1(a0，b0)上一点，则其离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案c解析已知点(1,2)是双曲线1(a0，b0)上一点，得1，即b24，所以e，所以e.(3)(2019天津)已知抛物线y24x的焦点为f，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a和点b，且|ab|4|of|(o为原点)，则双曲线的离心率为()a.b.c.2d.答案d解析由题意，可得f(1,0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点a，b的纵坐标的绝对值均为.由|ab|4|of|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.1.(2020衡水质检)对于实数m，“1m2”是“方程1表示双曲线”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案c解析若方程1表示双曲线，则(m1)(m2)0，得1m2，则“1m0，b0)的一个焦点为f(c,0)，若a，b，c成等比数列，则该双曲线的离率e等于()a.b.c.d.1答案b解析因为a，b，c成等比数列，所以b2ac，即c2a2ac，e21e，所以e2e10，因为e(1，)，所以e.3.已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()a.xy0b.xy0c.xy0d.2xy0答案c解析双曲线的方程是1(a0，b0)，双曲线的渐近线方程为yx.又离心率e2，c2a，ba.由此可得双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.故选c.4.已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()a.(1,3) b.(1，)c.(0,3) d.(0，)答案a解析由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)的一条渐近线为y2x，且一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，则此双曲线的方程为()a.x25y21b.5y2x21c.5x2y21d.y25x21答案c解析因为抛物线的焦点为(1,0)，所以解得所以双曲线方程为5x21.6.(2019全国100所名校冲刺卷)已知双曲线c：y21(a0)，o为坐标原点，以其实轴为直径的o与一渐近线相交于两点，其中一点为p，过p且与o相切的直线与x轴交于点a，若|oa|，则该双曲线的渐近线方程为()a.xy0b.3xy0c.xy0d.x3y0答案d解析根据双曲线的几何意义知c，所以a3，所以双曲线的渐近线方程为yx，即x3y0.7.(2019全国)双曲线c：1的右焦点为f，点p在c的一条渐近线上，o为坐标原点.若|po|pf|，则pfo的面积为()a.b.c.2d.3答案a解析不妨设点p在第一象限，根据题意可知c26，所以|of|.又tanpof，所以等腰pof的高h，所以spfo.8.(2019成都模拟)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1(c,0)，f2(c,0)，又点n.若双曲线c左支上的任意一点m均满足|mf2|mn|4b，则双曲线c的离心率的取值范围为()a.b.c.(1，)(，)d.(，)答案d解析由双曲线的定义可得，|mf2|mf1|2a.由题意，双曲线c左支上的任意一点m均满足|mf2|mn|4b，即双曲线c左支上的任意一点m均满足|mf1|mn|4b2a，而|mf1|mn|f1n|，从而|f1n|4b2a，即4b2a，整理得，3240，即0.所以2.又e，所以1e.9.(2019安徽江淮十校联考)已知点(1,2)是双曲线1(a0，b0)渐近线上一点，则其离心率是_.答案解析因为点(1,2)是双曲线1(a0，b0)渐近线上一点，所以，渐近线方程为y2x，所以2，因此，e.10.(2020焦作模拟)已知左、右焦点分别为f1，f2的双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线与直线l：x2y0相互垂直，点p在双曲线c上，且|pf1|pf2|3，则双曲线c的焦距为_.答案3解析双曲线c：1(a0，b0)的渐近线为yx，一条渐近线与直线l：x2y0相互垂直，可得2，即b2a，由双曲线的定义可得2a|pf1|pf2|3，可得a，b3，即有c，即焦距为2c3.11.(2019衡水调研)已知双曲线c：1(a0，b0)的实轴长为2，若双曲线c有两条渐近线与圆：x2y22交于m，n，p，q四个点，且矩形mnpq的面积为b，则双曲线c的离心率为_.答案2解析由题意得2a2，则a1，故双曲线c的渐近线方程为ybx，设第一象限的交点为n(x0，y0)，则解得x.又矩形mnpq的面积为2x02y04x0y0b，解得b，故c2，所以双曲线c的离心率为2.12.(2020临川一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)中，a1，a2是左、右顶点，f是右焦点，b是虚轴的上端点.若在线段bf上(不含端点)存在不同的两点pi(i1,2)，使得0，则双曲线离心率的取值范围是_.答案解析设c为半焦距，则f(c,0)，又b(0，b)，所以bf：bxcybc0，以a1a2为直径的圆的方程为o：x2y2a2，因为0，i1,2，所以o与线段bf有两个交点(不含端点)，所以即故解得e0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()a.b.c.d.答案b解析依题意知，双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域由不等式组确定，又点(2,1)在“右”区域内，所以1，因此双曲线的离心率e.14(2019江南十校联考)已知双曲线c1，c2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为yx(a0)，离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为_答案2解析由题意得双曲线c1的方程为y2t(a0，t0)，双曲线c2的方程为y2(a0，0)，所以e1，e2，所以e1e2222(当且仅当a1时等号成立)15.(2020广东华附