2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第3课时 证明与探索性问题教学案 理 新人教A版

第3课时证明与探索性问题证明问题例1(2018全国)设椭圆c：y21的右焦点为f，过f的直线l与c交于a，b两点，点m的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时，求直线am的方程；(2)设o为坐标原点，证明：omaomb.(1)解由已知得f(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点a的坐标为或.又m(2,0)，所以am的方程为yx或yx.即xy20或xy20.(2)证明当l与x轴重合时，omaomb0.当l与x轴垂直时，om为ab的垂直平分线，所以omaomb.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x20恒成立，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0，从而kmakmb0，故ma，mb的倾斜角互补.所以omaomb.综上，omaomb.思维升华圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.跟踪训练1(2019衡水模拟)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点f在y轴正半轴上，圆心在直线yx上的圆e与x轴相切，且点e，f关于点m(1,0)对称.(1)求e和的标准方程；(2)过点m的直线l与圆e交于a，b两点，与交于c，d两点，求证：|cd|ab|.(1)解设的标准方程为x22py，p0，则f.已知e在直线yx上，故可设e.因为e，f关于m(1,0)对称，所以解得所以抛物线的标准方程为x24y.因为圆e与x轴相切，故半径r|a|1，所以圆e的标准方程为(x2)2(y1)21.(2)证明由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0).则e(2，1)到l的距离d，因为l与e交于a，b两点，所以d2r2，即0，所以|ab|22.由消去y并整理得，x24kx4k0.16k216k0恒成立，设c(x1，y1)，d(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k，那么|cd|x1x2|4.所以2.所以|cd|22|ab|2，即|cd|ab|.探索性问题例2(2019烟台模拟)已知f为抛物线c：y22px(p0)的焦点，过f的动直线交抛物线c于a，b两点.当直线与x轴垂直时，|ab|4.(1)求抛物线c的方程；(2)若直线ab与抛物线的准线l相交于点m，在抛物线c上是否存在点p，使得直线pa，pm，pb的斜率成等差数列？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由.解(1)因为f，在抛物线y22px中，令x，可得yp，所以当直线与x轴垂直时|ab|2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)不妨设直线ab的方程为xmy1(m0)，因为抛物线y24x的准线方程为x1，所以m.联立消去x，得y24my40，16m2160恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，若存在定点p(x0，y0)满足条件，则2kpmkpakpb，即2，因为点p，a，b均在抛物线上，所以x0，x1，x2.代入化简可得，将y1y24m，y1y24代入整理可得，即(m21)(y4)0，因为上式对m0恒成立，所以y40，解得y02，将y02代入抛物线方程，可得x01，所以在抛物物c上存在点p(1，2)，使直线pa，pm，pb的斜率成等差数列.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.跟踪训练2(2020惠州调研)已知定点a(3,0)，b(3,0)，直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积为，记动点m的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程；(2)过点t(1,0)的直线l与曲线c交于p，q两点，是否存在定点s(x0，0)，使得直线sp与sq斜率之积为定值，若存在，求出s的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设动点m(x，y)，则kma(x3)，kmb(x3)，kmakmb，即.化简得y21，由已知x3，故曲线c的方程为y21(x3).(2)由已知直线l过点t(1,0)，设l的方程为xmy1，则联立方程消去x得(m29)y22my80，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则直线sp与sq斜率分别为ksp，ksq，kspksq，当x03时，mr，kspksq；当x03时，mr，kspksq.所以存在定点s(3,0)，使得直线sp与sq斜率之积为定值.例(12分)(2019全国)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.()证明：pqg是直角三角形；()求pqg面积的最大值.规范解答(1)解由题设得，化简得1(|x|2)，所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.2分(2)()证明设直线pq的斜率为k，则其方程为ykx(k0).由得x .3分记u，则p(u，uk)，q(u，uk)，e(u,0).4分于是直线qg的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.5分设g(xg，yg)，则u和xg是方程的解，故xg，由此得yg.6分从而直线pg的斜率为，7分所以pqpg，即pqg是直角三角形.8分()解由()得|pq|2u，|pg|，所以pqg的面积s|pq|pg|.10分设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为s在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，s取得最大值，最大值为.因此，pqg面积的最大值为.12分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：设直线方程，联立方程组，得关于x或y的一元二次方程.第二步：写出根与系数的关系(或解出交点的坐标).第三步：根据题目题设条件列出关系式，求得结果.第四步：有关求最值(范围)问题时，用一个变量表示目标变量，通过变形，用函数知识或基本不等式求解.第五步：反思回顾，查看有无疏忽问题，再完善.1.(2017全国)设o为坐标原点，动点m在椭圆c：y21上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足.(1)求点p的轨迹方程；(2)设点q在直线x3上，且1.证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.(1)解设p(x，y)，m(x0，y0)，则n(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0).由得x0x，y0y.因为m(x0，y0)在c上，所以1.因此点p的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知f(1,0).设q(3，t)，p(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn).由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点p存在唯一直线垂直于oq，所以过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.2.在平面直角坐标系xoy中，曲线c：y与直线l：ykxa(a0)交于m，n两点，(1)当k0时，分别求c在点m和n处的切线方程；(2)在y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opmopn？请说明理由.解(1)由题设可得m(2，a)，n(2，a)，或m(2，a)，n(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，曲线c在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，曲线c在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，理由如下：设p(0，b)为符合题意的点，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直线pm，pn的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入c的方程得x24kx4a0.16k216a0恒成立，故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补，故opmopn，所以存在点p(0，a)，使得当k变动时，总有opmopn.3.(2019全国100所名校联考)已知f1，f2分别是椭圆e：1的左、右焦点.(1)圆c：(x1)2(yb)29与x轴交于a，b两点，且cf1f2是等腰三角形，求|ab|；(2)两直线l1，l2均过点(1,0)，直线l1与椭圆e相交于m，p两点，直线l2与椭圆e相交于n，q两点，且直线mn过f1，设直线mn，pq的斜率均存在且分别为k1，k2，试问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解(1)由题意得f1(2,0)，f2(2,0)，c(1，b)，当以cf1为cf1f2的底边时，|cf2|f1f2|4，b2116，得|b|3，则圆c与x轴没有交点，不符合题意；当以cf2为cf1f2的底边时，|cf1|f1f2|4，b23242，得|b|0，y1y2，y1y232，由以弦ab为直径的圆恒过点q知0，即(y1y0)(y2y0)0，即(y1y0)(y2y0)(y1y0)(y2y0)0，故(y1y0)(y2y0)16，即y1y2y0(y1y2)y160，整理得(y16)k4(y04)0，即当y04时，恒有0，故存在定点q(4,4)满足题意；当直线l斜率不存在时，l：x8, 不妨令a(8,4)，b(8，4)，q(4,4)，也满足0.综上所述，存在定点q(4,4)，使得以弦ab为直径的圆恒过点q.5.(2019潮州模拟)已知椭圆1(ab0)，a(2,0)是长轴的一个端点，弦bc过椭圆的中心o，点c在第一象限，且0，|2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设p，q为椭圆上不重合的两点且异于a，b，若pcq的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若存在，求取得最大值时的pq的长；若不存在，请说明理由.解(1)0，acb90，|2|.即|2|，aoc是等腰直角三角形，a(2,0)，c(1,1)，而点c在椭圆上，1，a2，b2，所求椭圆方程为1.(2)存在.理由如下：对于椭圆上两点p，q，pcq的平分线总是垂直于x轴，pc与cq所在直线关于x1对称，设