2021版高考数学一轮复习 第九章 立体几何 9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角练习 理 北师大版

9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角核心考点精准研析 考点一异面直线所成的角 1.(2018全国卷)在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=1,aa1=3,则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为()a.15b.56c.55d.222.在直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为()a.110b.25c.3010d.223.在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱a1a底面abc,ac=1,aa1=2,bac=90,若ab1与直线a1c的夹角的余弦值是45,则棱ab的长度是_.4.如图所示,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,e是棱cc1的中点,af=ad,若异面直线d1e和a1f所成角的余弦值为3210,则的值为_.【解析】1.选c.以d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(1,0,0),d1(0,0,3),b1(1,1,3),所以=(-1,0,3),=(1,1,3),设异面直线ad1与db1所成角为,则cos =|cos,|=-1+31+31+1+3=55.2.选c.建立如图所示空间直角坐标系.设bc=ca=cc1=2,则可得a(2,0,0),b(0,2,0),m(1,1,2),n(1,0,2),所以bm=(1,-1,2),an=(-1,0,2).所以cos=bman|bm|an|=-1+412+(-1)2+22(-1)2+02+22=365=3010.3.如图建立空间直角坐标系.设ab=a,则a(0,0,0),b1(a,0,2),a1(0,0,2),c(0,1,0),所以ab1=(a,0,2),a1c=(0,1,-2),所以cos=ab1a1cab1a1c=4a2+45=45,解得a=1,所以棱ab的长度是1.答案:14.以d为原点,以da,dc,dd1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则a12,0,2,d10,0,2,e0,2,1,a2,0,0 ,所以d1e=0,2,-1,a1f=a1a+af=a1a+ad=0,0,-2+-2,0,0=-2,0,-2,所以cos=a1fd1ea1fd1e=222+15=3210,解得=13(=-13舍去).答案:13求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是0,2,两方向向量的夹角的范围是(0,),所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |.【解析】选c.由于bca=90,三棱柱为直三棱柱,且bc=ca=cc1,可将三棱柱补成正方体.建立如图所示空间直角坐标系.设正方体棱长为2,则可得a(0,0,0),b(2,2,0),m(1,1,2),n(0,1,2),所以bm=(-1,-1,2),an=(0,1,2).所以cos=bman|bm|an|=-1+4(-1)2+(-1)2+2202+12+22=365=3010.考点二直线与平面所成的角【典例】(2018全国卷)如图,四边形abcd为正方形,e,f分别为ad,bc的中点,以df为折痕把dfc折起,使点c到达点p的位置,且pfbf.(1)证明:平面pef平面abfd.(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题(1)要证面面垂直,先想到判定定理(2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系.【解析】(1)由已知可得,bfpf,bfef,pfef=f,所以bf平面pef.又bf平面abfd,所以平面pef平面abfd.(2)方法一:作phef,垂足为h.由(1)得,ph平面abfd.以h为坐标原点,的方向为y轴正方向,设正方形abcd的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系h-xyz.由(1)可得,depe.又dp=2,de=1,所以pe=3.又pf=1,ef=2,故pepf.可得ph=32,eh=32.则h(0,0,0),p0,0,32,d-1,-32,0,=1,32,32,=0,0,32为平面abfd的一个法向量.设dp与平面abfd所成角为,则sin =343=34.所以dp与平面abfd所成角的正弦值为34.方法二:因为pfbf,bfed,所以pfed,又pfpd,eddp=d,所以pf平面ped,所以pfpe,设ab=4,则ef=4,pf=2,所以pe=23,过p作phef交ef于h点,由平面pef平面abfd,所以ph平面abfd,连接dh,则pdh即为直线dp与平面abfd所成的角,由pepf=efph,所以ph=2324=3,因为pd=4,所以sinpdh=phpd=34,所以dp与平面abfd所成角的正弦值为34.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面为菱形,bad=120,ab=2,e,f分别为cd,aa1的中点.(1)求证:df平面b1ae.(2)若aa1底面abcd,且直线ad1与平面b1ae所成线面角的正弦值为34,求aa1的长.【解析】(1)设g为ab1的中点,连接eg,gf,因为fg12a1b1,又de12a1b1,所以fgde,所以四边形degf是平行四边形,所以dfeg,又df平面b1ae,eg平面b1ae,所以df平面b1ae. (2)因为abcd是菱形,且abc=60,所以abc是等边三角形.取bc中点m,则amad,因为aa1平面abcd,所以aa1am,aa1ad,建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz,令aa1=t(t0),则a(0,0,0),e32,32,0,b1(3,-1,t),d1(0,2,t),ae=32,32,0,ab1 =(3,-1,t),ad1=(0,2,t),设平面b1ae