2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教学案 理 新人教A版

9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点坐标o(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下焦半径x0x0y0y0通径长2p概念方法微思考1.若抛物线定义中定点f在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点f且与l垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二教材改编2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|等于()a.9b.8c.7d.6答案b解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|pq|pf|qf|x11x21x1x228.3.若抛物线y24x的准线为l，p是抛物线上任意一点，则p到准线l的距离与p到直线3x4y70的距离之和的最小值是()a.2b.c.d.3答案a解析由抛物线定义可知点p到准线l的距离等于点p到焦点f的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点p到准线l的距离与点p到直线3x4y70的距离之和的最小值为点f(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.故选a.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5.已知抛物线c与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线c的方程是()a.y22xb.y22xc.y24xd.y24x答案d解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0).设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选d.6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.答案1,1解析q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设p是抛物线y24x上的一个动点，f是抛物线y24x的焦点，若b(3,2)，则|pb|pf|的最小值为_.答案4解析如图，过点b作bq垂直准线于点q，交抛物线于点p1，则|p1q|p1f|.则有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4，即|pb|pf|的最小值为4.本例中的b点坐标改为(3,4)，则|pb|pf|的最小值为_.答案2解析由题意可知点b(3,4)在抛物线的外部.|pb|pf|的最小值即为b，f两点间的距离，f(1,0)，|pb|pf|bf|2，即|pb|pf|的最小值为2.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_.答案31解析由题意知，抛物线的焦点为f(1,0).点p到y轴的距离d1|pf|1，所以d1d2d2|pf|1.易知d2|pf|的最小值为点f到直线l的距离，故d2|pf|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()a.x212y或y216xb.x212y或y216xc.x29y或y212xd.x29y或y212x答案a解析对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0).当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为x22py(p0)，则3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，则4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.(2)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的标准方程为()a.y24x或y28xb.y22x或y28xc.y24x或y216xd.y22x或y216x答案c解析由题意知，f，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xm5，设以mf为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以ym4，又因为点m在c上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线c的标准方程为y24x或y216x，故选c.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1，1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点p到直线x1的距离等于点p到f的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点p，使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小，显然，连接af与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.(2)(2019衡水中学调研)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为()a.y24xb.y236xc.y24x或y236xd.y28x或y232x答案c解析因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为p，则p(x0，6).因为p到抛物线的焦点f的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为p在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.抛物线的几何性质例3(1)过点p(2,0)的直线与抛物线c：y24x相交于a，b两点，且|pa|ab|，则点a到抛物线c的焦点的距离为()a.b.c.d.2答案a解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，分别过点a，b作直线x2的垂线，垂足分别为点d，e.|pa|ab|，又得x1，则点a到抛物线c的焦点的距离为1.(2)(2020合肥检测)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于a，b两点.o为坐标原点.若oab的面积为1，则p的值为_.答案解析双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故a，b两点的坐标为，|ab|2p，所以saob2p1，解得p.(3)(2020华中师大附中月考)如图，点f是抛物线y28x的焦点，点a，b分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且ab始终平行于x轴，则abf的周长的取值范围是_.答案(8,12)解析设a(xa，ya)，b(xb，yb).抛物线的准线l：x2，焦点f(2,0)，由抛物线定义可得|af|xa2，圆(x2)2y216的圆心为点(2,0)，半径为4，fab的周长为|af|ab|bf|xa2(xbxa)46xb，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，xb(2,6)，6xb(8,12).abf的周长的取值范围是(8,12).思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)(2020焦作期中)以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线与正方形abcd有公共点，其中a(2,2)，b(4,2)，c(4,4)，则抛物线的焦点f到准线l的最大距离为()a.b.4c.6d.8答案b解析由题意可得d(2,4)，设抛物线：x22py，p0，要使得抛物线与正方形abcd有公共点，其临界状态应该是过b或过d，把b，d的坐标分别代入抛物线方程，得422p2，或222p4，可得p4或p，故抛物线的焦点f到准线l的最大距离为4.(2)(2020湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点a是抛物线yx2的对称轴与准线的交点，点f为该抛物线的焦点，点p在抛物线上且满足|pf|m|pa|，则m的最小值为_.答案解析过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义可得|pn|pf|，|pf|m|pa|，|pn|m|pa|，则m，设pa的倾斜角为，则sinm，当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，设直线pa的方程为ykx1，代入x24y，可得x24(kx1)，即x24kx40，16k2160，k1，m的最小值为.直线与抛物线例4(2019全国)已知抛物线c：y23x的焦点为f，斜率为的直线l与c的交点为a，b，与x轴的交点为p.(1)若|af|bf|4，求l的方程；(2)若3，求|ab|.解设直线l：yxt，a(x1，y1)，b(x2，y2).(1)由题设可得f，故|af|bf|x1x2，又|af|bf|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，令0，得t0)焦点f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2.弦长|ab|x1x2p(为弦ab的倾斜角).以弦ab为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2020汉中模拟)已知点m为直线l1：x1上的动点，n(1,0)，过m作直线l1的垂线l，l交mn的中垂线于点p，记点p的轨迹为c.(1)求曲线c的方程；(2)若直线l2：ykxm(k0)与圆e：(x3)2y26相切于点d，与曲线c交于a，b两点，且d为线段ab的中点，求直线l2的方程.解(1)由已知可得，|pn|pm|，即点p到定点n的距离等于它到直线l1的距离，故点p的轨迹是以n为焦点，l1为准线的抛物线，曲线c的方程为y24x.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x0，y0kx0m，即d，直线l2与圆e：(x3)2y26相切于点d，|de|26，且del2，从而226，kdek1，即整理可得22，即k，m0，故直线l2的方程为xy0或xy0.1.抛物线yax2(a0)的准线方程是y1，则a的值为()a.b.c.4d.4答案b解析由yax2，变形得x2y2y，p.又抛物线的准线方程是y1，1，解得a.2.(2019包头青山区模拟)已知点p(2，y)在抛物线y24x上，则点p到抛物线焦点f的距离为()a.2b.3c.d.答案b解析因为抛物线y24x的焦点为(1,0)，准线为x1，结合定义点p到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3.设f为抛物线y22x的焦点，a，b，c为抛物线上三点，若f为abc的重心，则|的值为()a.1b.2c.3d.4答案c解析依题意，设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，又焦点f，所以x1x2x33，则|(x1x2x3)3.4.(2020惠州调研)已知f是抛物线c：y2x2的焦点，n是x轴上一点，线段fn与抛物线c相交于点m，若2，则|等于()a.b.c.d.1答案a解析由题意得点f的坐标为，设点m的坐标为(x0，y0)，点n的坐标为(a,0)，所以，(ax0，y0)，由2可得，解得y0，x0a，代入抛物线方程可得x0，则a，所以点n的坐标为，由两点之间的距离公式可得|fn|.5.抛物线x24y的焦点为f，过点f作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点a，过点a作抛物线准线的垂线，垂足为h，则ahf的面积是()a.4b.3c.4d.8答案c解析由抛物线的定义可得|af|ah|，af的斜率为，af的倾斜角为30，ah垂直于准线，fah60，故ahf为等边三角形.设a，m0，过f作fmah于m，则在rtfam中，|am|af|，1，解得m2，故等边三角形ahf的边长|ah|4，ahf的面积是44sin604.故选c.6.(2019洛阳模拟)已知抛物线y24x的焦点为f，过焦点f的直线交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，若|ab|6，则aob的面积为()a.b.2c.2d.4答案a解析根据题意，抛物线y24x的焦点为f(1,0).设直线ab的斜率为k，可得直线ab的方程为yk(x1)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去x，得y2y40，y1y2，y1y24，则x1x222，|ab|x1x2p226，则k，|y1y2|2，saobsaofsbof|of|y1y2|12，aob的面积为.7.(2020晋城模拟)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，准线为l，l与x轴的交点为p，点a在抛物线c上，过点a作aal，垂足为a，若四边形aapf的面积为14，且cosfaa，则抛物线c的方程为()a.y28xb.y24xc.y22xd.y2x答案b解析如图所示，过点f作ffaa，垂足为f，设|af|3x，因为cosfaa，故|af|5x，|ff|4x，由抛物线定义可知，|af|aa|5x，则|af|2xp，故x.四边形aapf的面积s14，解得p2，故抛物线c的方程为y24x.8.(2019潮州模拟)从抛物线y24x上一点p引其准线的垂线，垂足为m，设抛物线的焦点为f，且|pf|5，则mpf的面积为_.答案10解析由抛物线的定义可知|pf|pm|5，并且点p到准线的距离xp15，xp4，yp4，s5410.9.(2020江淮十校联考)已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点o和焦点f与l相切，则抛物线的方程为_.答案y28x解析半径为3的圆与抛物线的准线l相切，圆心到准线的距离等于3，又圆心在of的垂直平分线上，|of|，3，p4，故抛物线的方程为y28x.10.已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的的直线与c交于a，b两点.若0，则k_.答案2解析抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，则抛物线c与直线必有两个交点.设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.解建立如图所