2021高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.6 对数与对数函数教学案 理 新人教A版

2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.1对数的概念一般地，如果axn(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中_a_叫做对数的底数，_n_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，m0，n0，那么：loga(mn)logamloganlogalogamloganlogamnnlogam(nr)(2)对数的性质负数和零没有对数；loga10，logaa1(a0，且a1)n(a0，a1，且n0)logaann(a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称概念方法微思考1根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？化简.提示logablogba1；logab.2如图给出4个对数函数的图象比较a，b，c，d与1的大小关系提示0cd1a0，则loga(mn)logamlogan.()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()题组二教材改编2log29log34log45log52_.答案23已知a，blog2，c，则a，b，c的大小关系为_答案cab解析0a1，b1.cab.4函数y的定义域是_答案解析由0，得02x11.0，log5ba，lgbc,5d10，则下列等式一定成立的是()adacbacdccadddac答案b6若loga0且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，).对数式的运算1设2a5bm，且2，则m_.答案解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2设函数f(x)3x9x，则f(log32)_.答案6解析函数f(x)3x9x，f(log32)2246.3计算：_.答案1解析原式1.4(2019北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()a1010.1b10.1clg10.1d1010.1答案a解析两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，令m21.45，m126.7，lg(m2m1)(1.4526.7)10.1，1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()a0a1b1b0ba11c0b1a1d0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b1.(2)方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得0a.4xlogax在上恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解跟踪训练1(1)(2019河北冀州中学月考)函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是()答案b解析由函数值域为r，可以排除c，d，当x1时，f(x)lg(x1)在(1，)上单调递增，排除a，选b.(2)若不等式x2logax1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，只需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1，所以x.(2)设f(x)则方程f(a)f(a)的解集为_答案1,1解析当a0时，由f(a)log2af(a)，得a1；当af(a)的解集为_答案(1,0)(1，)解析由题意，得或解得a1或1a0，得x3或x1.故函数f(x)的定义域为(，1)(3，)令x24x3，则在(，1)上单调递减，在(3，)上单调递增又y在(0，)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(，1)，单调递减区间是(3，)(2)令g(x)x22ax3，要使f(x)在(，2)上为增函数，应使g(x)在(，2)上单调递减，且恒大于0.因此即a无解所以不存在实数a，使f(x)在(，2)上为增函数思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用跟踪训练2(1)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()a1,2) b1,2c1，) d2，)答案a解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，且82a0，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019天津市河西区模拟)设alog3e，be1.5，c，则()abacbcabccbadaclog3ea.又clog342，acb.(2)(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()aabab0babab0cab0abdab0log0.210，blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310，01，abab0.(3)已知函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，且当x(0，)时，f(x)|log2x|，若af(3)，bf，cf(2)，则a，b，c的大小关系是_答案cab解析易知yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，所以cab.思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()aabccabbc答案b解析因为alog23log2log23log231，blog29log2log23a，clog32c.(2)(2019天津市滨海新区模拟)已知函数f(x)|x|，且af，bf，cf(21)，则a，b，c的大小关系为()aacbbbcaccabdbac答案a解析ln，log23ln.又f(x)是偶函数，在(0，)上为增函数，fff(log23)f，acb.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是()aabcbbacccbadacb答案c解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得0，即log2clog2blog2a0，可得cba0且a1，b1，若logab1，则()a(a1)(b1)0c(b1)(ba)0答案d解析由a，b0且a1，b1，及logab1logaa可得，当a1时，ba1，当0a1时，0ba1，代入验证只有d满足题意3函数f(x)(0a0时，f(x)logax单调递减，排除a，b；当x1(a0且a1)，则实数a的取值范围是()a.b(1，)c.(1，) d.答案d解析当0alogaa1，a1时，loga1不成立实数a的取值范围是.5若函数yloga(x2ax2)在区间(，1上为减函数，则a的取值范围是()a(0,1) b2，)c2,3) d(1,3)答案c解析由题易知，a1，则可得解得2a3.6已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的取值范围为()a(0,1 b(0,1) c0,1d(0，)答案a解析作出函数yf(x)的图象(如图)，欲使yf(x)和直线ya有两个交点，则01时，由1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.9设实数a，b是关于x的方程|lgx|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lgx|的图象和直线yc有两个不同交点(如图)，ab1,0clg101，abc的取值范围是(0,1)10已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_答案解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，所以0a，故020，且a1)，且f(1)2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x1.存在实数a满足题意，即当a(1，)时，f(x)在2,4上是增函数13已知函数f(x)ln，若fff1010(ab)，则a2b2的最小值为()a1b2c3d4答案b解析f(x)f(ex)2，fff2020，1010(ab)2020，ab2.a2b22，当且仅当ab1时取等号14若函数f(x)loga(x2x2)在区间0,2上的最大值为2，则实数a_.答案2解析令u(x)x2x2，则u(x)在0,2上的最大值u(x)max4，最小值u(x)min.当a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0a0，则实数a的取值范围是()a.b.c.d.答案a解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f